Alternativna definicija limesa funkcije
Sažetak
U ovom preglednom radu prezentiramo alternativnu definiciju limesa funkcije, danu u radu B.M. Baishanski, arXiv:0805.3671. Pokazujemo da osnovna svojstva limesa funkcije lagano slijede iz te definicije, te da je ta definicija ekvivalentna tradicionalnoj „\epsilon-\delta” definiciji.
1Uvod
Tradicionalna „\epsilon-\delta” definicija limesa realne funkcije jedne realne varijable (vidi npr.
U ovom radu promatramo realne funkcije realne varijable i, slijedeći
Limes funkcije možemo shvatiti kao preslikavanje s klase realnih funkcija u realne brojeve. Slijedeći
| 1) | definiramo limes za monotone ograničene funkcije, |
| 2) |
definiramo klasu konvergentnih funkcija (tj. dajemo novo značenje pojmu konvergencije - kasnije pokazujemo da se podudara s tradicionalnim pojmom konvergencije (vidi teoreme |
| 3) | proširujemo definiciju limesa na sve konvergentne funkcije. |
Nadalje, pokazujemo da iz te definicije limesa jednostavno slijede uobičajena svojstva limesa (teorem
Za a \in \mathbb{R}, u ovom radu s (a,\infty) označujemo otvoreni interval \lbrace x \in \mathbb{R} | \ x\gt a \rbrace.
2Limes monotonih i ograničenih funkcija
U ovom poglavlju promatramo klasu funkcija koje su monotone i ograničene na nekoj okolini beskonačnosti:
BM(\infty) = \lbrace f| \text{ postoji } a \in \mathbb{R} \text{ takav da je } f \text{ monotona i ograničena na intervalu } (a,\infty)\rbrace
i definiramo pojam limesa na toj klasi.
Definicija 1. Kažemo da je preslikavanje
L: BM(\infty) \to \mathbb{R}
limes na BM(\infty) ako su zadovoljena sljedeća svojstva:
| (1) | ako je f(x) = c za sve x \in \mathbb{R}, tada L(f) = c, |
| (2) |
ako je L(f) \lt L(g), tada postoji a \in \mathbb{R} takav da je
f(x) \lt g(x) \text{ za } x \gt a.
|
Umjesto L(f) = \lambda, često ćemo se koristiti uobičajenom notacijom „\lim_{x \to \infty} f(x) =\lambda” ili „f(x)\to\lambda \text{ kada } x\to \infty ”. Ako je f rastuća (odnosno padajuća), pišemo f(x)\nearrow \lambda kada x \to \infty (odnosno f(x)\searrow \lambda kada x\to \infty).
Sada pokazujemo da postoji jedinstveno preslikavanje sa svojstvima iz Definicije
Dokaz. Ako je f rastuća i ograničena za x \gt a, definiramo L(f) = \sup \lbrace f(x)| \ x \gt a \rbrace, a ako je f padajuća i ograničena za x \gt a, definiramo L(f) = \inf \lbrace f(x)| \ x \gt a \rbrace. Očito, trebamo samo provjeriti je li zadovoljen uvjet (2) iz Definicije 1 . Postoje četiri slučaja s obzirom na to jesu li funkcije f i g rastuće ili padajuće. Dokaz dajemo samo za slučaj kada je f padajuća za x \gt a' i g rastuća za x \gt a'' (preostala tri slučaja su slična). Neka je \gamma \in \mathbb{R} takav da je L(f)\lt \gamma \lt L(g). Budući da je L(f) = \inf \lbrace f(x)| \ x \gt a' \rbrace, L(g) = \sup \lbrace g(x)| \ x \gt a'' \rbrace, dobivamo da postoje b' i b'' iz \mathbb{R} takvi da f(b') \lt \gamma \lt g(b''). Budući da je f padajuća, a g rastuća, slijedi da je f(x) \lt g(x) za x \gt \max \lbrace b',b'' \rbrace.
\ \blacksquare
Dokaz. Pretpostavimo da postoje dva limesa, L' i L'', te funkcija f iz BM(\infty) takva da je L'(f) različit od L''(f). Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da je L'(f) \lt L''(f). Neka je \gamma \in \mathbb{R} takav da je
Ako označimo s \gamma i konstantnu funkciju s vrijednosti \gamma, iz svojstva (1) iz Definicije 1 slijedi da je L'(\gamma) = L''(\gamma) = \gamma. Sada relacija (1 ) povlači da je L'(f) \lt L'(\gamma) i L''(\gamma) \lt L''(f), pa iz svojstva (2) slijedi da postoje a' i a'' iz \mathbb{R} takvi da je f(x) \lt \gamma za x\gt a' i f(x) \gt \gamma za x\gt a''. Dakle, za x \gt \max\lbrace a',a''\rbrace, dobivamo f(x) \lt f(x), što je kontradikcija.
(1)
\begin{eqnarray} L'(f) \lt \gamma \lt L''(f). \end{eqnarray}
\ \blacksquare
Teorem 4. Ako su funkcije f i g iz klase BM(\infty) i ako postoji a \in \mathbb{R} takav da
f(x)\le g(x) \text{ za } x\gt a, \text{ tada } L(f) \le L(g).
Dokaz. Pretpostavimo suprotno, odnosno L(f) \gt L(g). Iz svojstva (2) iz Definicije 1 slijedi da postoji a' \in \mathbb{R} takav da je f(x)\gt g(x) za x\gt a'. Sada za x \gt \max \lbrace a,a' \rbrace dobivamo kontradikciju.
\ \blacksquare
Teorem 5. Neka je N pozitivna padajuća funkcija na (a,\infty). Tada su sljedeće tvrdnje ekvivalentne:
| (i) | L(N) = 0 |
| (ii) | za svaki n \in \mathbb{N} postoji x_{n} \gt a takav da je N(x_{n}) \lt 1/n. |
Dokaz. (i)\Rightarrow(ii). Budući da je L(N) \lt L(1/n) (pri čemu s 1/n označavamo pripadnu konstantnu funkciju), iz svojstva (2) iz Definicije 1 slijedi da postoji c \in \mathbb{R} takav da je N(x) \lt 1/n za x\gt c.
(ii)\Rightarrow(i). Budući da je N padajuća na (a,\infty), vrijedi 0\lt N(x)\lt 1/n za x\gt x_{n}. Iz Teorema4 i svojstva (1) dobivamo 0 \le L(N) \le 1/n za svaki n \in {\mathbb{N}}. Dakle, L(N) = 0.
(ii)\Rightarrow(i). Budući da je N padajuća na (a,\infty), vrijedi 0\lt N(x)\lt 1/n za x\gt x_{n}. Iz Teorema
\ \blacksquare
Tvrdnje sljedećeg korolara jednostavno slijede iz definicije limesa na klasi BM(\infty), dane u dokazu Teorema
Korolar 6. Neka je f(x) = \lambda + N(x), g(x) = \lambda - N(x). Sljedeće su tvrdnje ekvivalentne:
| (i) | N(x) \searrow 0, |
| (ii) | f(x)\searrow \lambda, |
| (iii) | g(x) \nearrow \lambda. |
Tvrdnje sljedećeg korolara jednostavno slijede iz Teorema
Korolar 7. Pretpostavimo da N'(x)\searrow 0, N''(x)\searrow 0 kada x\to\infty. Tada vrijedi:
| (i) | Ako je N(x) = N'(x)+ N''(x), tada N(x)\searrow 0 kada x\to\infty. |
| (ii) | Ako je N(x) = C N'(x), pri čemu je C pozitivna konstanta, tada N(x)\searrow 0 kada x\to\infty. |
3Konvergentne funkcije i limes
U ovom poglavlju uvodimo pojam limesa na širu klasu funkcija.
Definicija 8. Kažemo da funkcija f konvergira kada x teži \infty ako postoji a \in \mathbb{R} i funkcije m i M, koje su ograničene i monotone na intervalu (a, \infty) i da vrijedi
Klasu funkcija f koje konvergiraju kada x teži \infty označavamo s C(\infty).
| (1) | f je definirana na (a, \infty) |
| (2) | m(x) \le f(x) \le M(x), za x\gt a |
| (3) | L(m) = L(M). |
Napomena 9. Iz Definicije 8 slijedi da je svaka konvergentna funkcija ujedno i ograničena na nekom intervalu (a, \infty).
Teorem 10. Limes L na BM(\infty) može se proširiti na klasu C(\infty), tako da svojstvo (2) iz Definicije 1 ostaje zadovoljeno.
Dokaz. Ako je f iz klase C(\infty), stavimo L(f) = L(m) = L(M). Prvo moramo provjeriti je li ova definicija dobra, odnosno da, ako imamo funkcije m',M', m'', M'' iz klase BM(\infty) takve da m'(x) \le f(x) \le M'(x) za x\gt a' i m''(x) \le f(x) \le M''(x) za x\gt a'', te L(m') = L(M') = L' i L(m'') = L(M'') = L'', onda vrijedi L' = L''. Iz gornjih pretpostavki slijedi da je m'(x) \le M''(x) za x\gt \max \lbrace a',a'' \rbrace. Sada Teorem 4 povlači L' = L(m') \le L(M'') = L''. Slično se pokazuje L'' \le L'. Dakle, L'= L''.
Preostaje provjeriti je li svojstvo (2) iz Definicije1 zadovoljeno na C(\infty). Neka su sada m',M', m'', M'' iz klase BM(\infty) takve da m'(x) \le f(x) \le M'(x) za x\gt a', m''(x) \le g(x) \le M''(x) za x\gt a'', te L(m') = L(M') = L(f) i L(m'') = L(M'') = L(g). Budući da je L(M') = L(f) \lt L(g) = L(m''), iz svojstva (2) za funkcije iz klase BM(\infty) slijedi da postoji a \in \mathbb{R} takav da je M'(x)\lt m''(x) za x\gt a. Slijedi f(x) \le M'(x) \lt m''(x) \le g(x) za x\gt \max \lbrace a,a',a'' \rbrace.
Preostaje provjeriti je li svojstvo (2) iz Definicije
\ \blacksquare
Vrijede sljedeća poopćenja teorema
Teorem 12. Ako postoji a \in \mathbb{R} takav da je
f(x)\le g(x) \text{ za } x\gt a,
i ako f i g konvergiraju kada x teži \infty, tada
L(f) \le L(g).
Dokazi teorema
Tvrdnje sljedećih lema jednostavno slijede iz Definicije
Lema 13. a) Pretpostavimo da je |f(x)-\lambda | \lt N(x) za x \gt a. Tada, ako N(x) \searrow 0 kada x \to \infty, onda f(x) \to \lambda kada x\to\infty.
b) Neka je f(x) = \lambda + z(x). Sljedeće su tvrdnje ekvivalentne:
b) Neka je f(x) = \lambda + z(x). Sljedeće su tvrdnje ekvivalentne:
| (i) | f(x)\to \lambda kada x\to \infty |
| (ii) | z(x)\to 0 kada x\to\infty. |
Lema 14. (i) Ako z'(x)\to 0, z''(x)\to 0 kada x\to\infty i z(x)=z'(x)+z''(x), tada z(x)\to 0 kada x\to \infty.
(ii) Ako z(x)\to 0 kada x\to\infty i w(x)=b(x)z(x), pri čemu je funkcija b ograničena na nekom intervalu (a,\infty), tada w(x)\to 0 kada x\to\infty.
(ii) Ako z(x)\to 0 kada x\to\infty i w(x)=b(x)z(x), pri čemu je funkcija b ograničena na nekom intervalu (a,\infty), tada w(x)\to 0 kada x\to\infty.
U sljedećem teoremu navodimo uobičajena svojstva limesa s obzirom na zbrajanje, množenje i dijeljenje funkcija:
Teorem 15. Pretpostavimo da f(x)\to \alpha i g(x)\to\beta kada x\to\infty. Neka je s = f + g, p = f g i q = 1/g. Tada s(x)\to\alpha + \beta, p(x)\to \alpha \beta kada x\to\infty. Ako je i \beta \neq 0, tada q(x) \to 1/\beta kada x\to\infty.
Teorem 16. Pretpostavimo da f konvergira kada x teži \infty i da je L(f) = \lambda. Tada vrijedi:
| (i) | Ako je \alpha \lt \lambda \lt \beta, tada postoji a \in \mathbb{R} takav da je \alpha \lt f(x) \lt \beta za x \gt a, |
| (ii) |
Za svaki \epsilon \gt 0 postoji X=X(\epsilon) \in \mathbb{R} takav da je
|f(x)-\lambda| \lt \epsilon \text{ za } x \gt X.
|
Dokaz. (i) Kao i do sada, koristimo se istom oznakom za realan broj i za konstantnu funkciju čija je jedina vrijednost taj realan broj, dakle L(\alpha)= \alpha, L(\beta)= \beta. Pretpostavka je da
(ii) Slijedi iz (i) za \alpha = \lambda - \epsilon, \beta = \lambda + \epsilon.
L(\alpha) \lt L(f) \lt L(\beta).
Koristeći se svojstvom (2) dobivamo
\alpha \lt f(x) \text{ za } x \gt a', f(x) \lt \beta \text{ za } x \gt a'',
pa tvrdnja (i) slijedi za a=\max\lbrace a',a''\rbrace.(ii) Slijedi iz (i) za \alpha = \lambda - \epsilon, \beta = \lambda + \epsilon.
\ \blacksquare
Teorem 17. Pretpostavimo da za svaki \epsilon \gt 0 postoji X = X(\epsilon) \in \mathbb{R} takav da
Tada f konvergira kada x teži \infty (u smislu Definicije 8 ) i L(f) = \lambda.
(2)
\begin{eqnarray} |f (x)-\lambda | \lt \epsilon \text{ za } x \gt X. \end{eqnarray}
Dokaz. Moramo provjeriti jesu li zadovoljeni uvjeti Definicije 8 . Neka je M(x) = \sup \lbrace f(t)| \ t \ge x \rbrace, m(x) = \inf \lbrace f(t)| \ t \ge x \rbrace. Lagano se pokazuje da su funkcije M i m iz klase BM(\infty) i da je m(x) \le f(x) \le M(x), recimo za x \gt X(1). Preostaje provjeriti je li L(m) = L(M) =\lambda. Pokazat ćemo da je L(M) =\lambda, analogno se pokazuje L(m) = \lambda.
Za proizvoljan \epsilon \gt 0, iz relacije (2 ) slijedi da je \lambda - \epsilon \lt f(t) \lt \lambda + \epsilon za t \gt X(\epsilon). Dakle, \lambda - \epsilon \le M(x) \le \lambda + \epsilon za x \gt X(\epsilon). Iz Teorema 4 sada slijedi da za svaki \epsilon \gt 0 vrijedi \lambda - \epsilon \le L(M) \le \lambda + \epsilon. Odavde dobivamo L(M) = \lambda.
Za proizvoljan \epsilon \gt 0, iz relacije (
\ \blacksquare
Teoremi
