Inverzija
Sadržaj
Sažetak
Ovaj rad nastao je u želji da se mladim natjecateljima srednjoškolcima teorijski i praktično predstavi inverzija u planimetriji. Na samom početku dan je nešto opširniji teorijski uvod u kojem su pored dobro poznatih svojstava inverzije dani i dokazi tih svojstava. U nastavku je na nizu primjera ilustrirana njezina praktična primjena.1Uvod
Većina transformacija koje se primjenjuju u rješavanju planimetrijskih problema su izometrije. Nešto rjeđe primjenjuju se i homotetivne transformacije – no u svakom od tih preslikvanja pravac se preslikava u pravac, a kružnica u kružnicu (ili u elipsu, u općem slučaju afinih transformacija). No, kod inverzije nije takav slučaj. Inverzija, naime, preslikava pravce i kružnice u pravce i kružnice, ali pri tome može pravac transformirati u kružnicu i obrnuto. Ovo je jedan od razloga zašto inverzija ponekad daje neočekivane i zanimljive rezultate u svojoj primjeni.
Dajmo sada formalnu definiciju inverzije, a zatim protumačimo njezino praktično značenje.
Definicija 1. Neka je O točka u ravnini E, a r pozitivan realan broj. Inverzijom ravnine E u odnosu na kružnicu k(O,r) nazivamo preslikavanje koje svaku točku te ravnine P različitu od O preslikava u točku P' na polupravcu OP tako da vrijedi OP\cdot OP'=r^{2}. Točka O se pritom preslikava u točku u beskonačnosti.1
Napomenimo da stariji autori izostavljaju posljednju rečenicu ove definicije, navodeći da se točka O inverzijom uopće ne preslikava (te, samim tim, osporavaju stajalište da je inverzija geometrijska transformacija u strogom smislu, vidjeti npr.
Kako su čitatelji upoznati s osnom refleksijom (zrcaljenjem ravnine u odnosu na zadani pravac), pokušat ćemo inverziju objasniti kroz ovo elementarno preslikavanje. Točnije, inverziju možemo smatrati generalizacijom osne refleksije: riječ je, naime, o refleksiji na kružnici. Pravac možemo promatrati kao luk kružnice beskonačnog polumjera, pa ova generalizacija ima smisla.2 Zainteresirani čitatelj može relativno lako pokazati kako se praktično provodi ova generalizacija.
Iz definicije
Posljedica 2. Inverzija ravnine u odnosu na kružnicu k(O,r) točke na kružnici k preslikava u njih same, točke u unutrašnjosti kruga koji omeđuje ta kružnica u njegovu vanjštinu i obrnuto.
Nije se teško uvjeriti da vrijedi i
Pokažimo kako konstruirati točku P' iz definicije
| (1) | Neka točka P leži na kružnici k(O,r). Spojimo li ovu točku sa središtem inverzije O, očito je da na polupravcu OP postoji točno jedna točka P' koja ispunjava jednakost OP\cdot OP'=r^{2}, i to sama točka P. Dakle, P'= P. |
| (2) | Neka točka P leži izvan kružnice k(O,r). Povucimo kroz točku P tangentu na kružnicu k (slika 1) i označimo dodirnu točku tangente i kružnice s M. Neka je MP' visina trokuta OMP. Iz sličnosti pravokutnih trokuta OMP i OP'M slijedi P'O:OM=OM:OP, pa je OP\cdot OP'=r^{2}, te je P' slika točke P pri ovoj inverziji. |
| (3) | Neka točka P leži unutar kružnice k(O,r). Primijenimo obrnut postupak onom u slučaju (2). Spojimo, dakle, točke O i P i povucimo okomicu na pravac OP kroz točku P. Jedan od presjeka tog pravca s kružnicom k označimo s M, kroz točku M povucimo tangentu na k i presjek te tangente i pravca OP označimo s P' (očito, riječ je o istoj slici kao u slučaju (2), sa zamijenjenim mjestima točaka P i P'). Iz identičnog razloga sličnosti kao pod (2) slijedi da je P' slika točke P pri ovoj inverziji. |
Ovim smo direktno dokazali posljedicu
Sad ćemo dokazati nekoliko osnovnih svojstava inverzije, koja je čine moćnim sredstvom u modernoj planimetriji.
Teorem 4. Ako je O centar inverzije, a točke A i B tom su inverzijom preslikane u A' i B', tada su trokuti OAB i OB'A' slični.
Dokaz. Iz definicije 1 slijedi: OA\cdot OA'=OB\cdot OB', pa je OA:OB=OB':OA, a budući da je \angle AOB=\angle B'OA', trokuti OAB i OB'A' su slični.
\ \blacksquare
Dokaz. Prema definiciji 1 , svaka točka pravca p (osim O) se preslikava u točku na istom tom pravcu. Budući da je riječ o bijekciji, pravac p preslikava se u samog sebe.
\ \blacksquare
Teorem 6. Ako je O centar inverzije, pravac p koji ne prolazi točkom O preslikava se u kružnicu koja prolazi točkom O.
Dokaz. Spustimo normalu OC na pravac p iz centra inverzije O (slika 2) te odaberimo proizvoljnu točku M na p. Budući da su trokuti OCM i OM'C' slični (teorem 4 ), kut \angle OM'C' je pravi, pa po Talesovu teoremu točka M' leži na kružnici k promjera OC'. Ako je X točka kružnice k različita od O, tada je ona slika pri inverziji točke Y koja se nalazi u presjeku polupravca OX i p. Dakle, inverzija preslikava pravac p u kružnicu k (preciznije, k\setminus \lbrace O\rbrace).
\ \blacksquare
Teorem 7. Ako je O centar inverzije, kružnica koja prolazi točkom O preslikava se u pravac, a kružnica koja ne prolazi točkom O u kružnicu.5
Dokaz. Slučaj kružnice koja prolazi točkom O direktno slijedi iz teorema 6 i svojstva involutivnosti inverzije.
Neka sada O ne pripada kružnici k i neka su A i B točke presjeka kružnice k i pravca koji prolazi točkama O i S (gdje je S središte kružnice k), a M proizvoljna točka na k. Pokažimo da je kružnica k' promjera A'B' slika pri inverziji kružnice k. Za to će, po Talesovu teoremu, biti dovoljno pokazati da je kut \angle A'M'B' pravi. U daljnjem razmatranju koristit ćemo se orijentiranim kutovima, da ne bismo morali analizirati više slučajeva u ovisnosti o položaju točke M. Iz teorema4 imamo sličnost trokuta OAM i OM'A' te OBM i OM'B', pa je \angle OMA=\angle OA'M' i \angle OMB=\angle OB'M', tj. \angle (OM,MA)=-\angle (OA',M'A') i \angle (OM,MB)=-\angle (OB',M'B'). Zato je \angle (A'M',M'B')=\angle (A'M',OA')+\angle (OB',M'B') = \angle (OM,MA)+ \angle (MB,OM)=\angle (MB,MA)=90^{\circ}.
Neka sada O ne pripada kružnici k i neka su A i B točke presjeka kružnice k i pravca koji prolazi točkama O i S (gdje je S središte kružnice k), a M proizvoljna točka na k. Pokažimo da je kružnica k' promjera A'B' slika pri inverziji kružnice k. Za to će, po Talesovu teoremu, biti dovoljno pokazati da je kut \angle A'M'B' pravi. U daljnjem razmatranju koristit ćemo se orijentiranim kutovima, da ne bismo morali analizirati više slučajeva u ovisnosti o položaju točke M. Iz teorema
\ \blacksquare
Teorem 8. Slike pri inverziji kružnice i njezine tangente (ili dviju kružnica koje se dodiruju) dodiruju se ako i samo ako se točka dodira originala ne poklapa s centrom inverzije. U suprotnom, preslikavaju se u paralelne pravce.
Dokaz. Dovoljno je provesti dokaz u jednom smjeru, drugi slijedi iz bijektivnosti i involutivnosti inverzije. Ako se točka dodira ne poklapa sa centrom inverzije, očito će i nakon inverzije postojati zajednička točka među krivuljama, tj. i slike će se dodirivati. S druge strane, ako se dvije kružnice dodiruju u točki O, tada se preslikavaju u dva pravca okomita na pravac koji povezuje njihova središta. Ako je riječ o pravcu i kružnici koji se dodiruju u točki O, tada se pravac preslikava u samog sebe, a kružnica u pravac okomit na pravac koji povezuje točku O i središte kružnice. Očito je da je u oba slučaja riječ o preslikavanju u dva paralelna pravca.
\ \blacksquare
Teorem 9. Ako je O centar inverzije, a točke A i B tom su inverzijom preslikane u A' i B', tada vrijedi
A'B'= \frac{AB\cdot r^{2}}{OA\cdot OB}.
Dokaz. Iz teorema 4 imamo OA:AB=OB':A'B', dok iz definicije 1 imamo OB\cdot OB'= r^{2}. Iz ove dvije relacije direktno slijedi A'B'= AB\cdot r^{2} / (OA\cdot OB).
\ \blacksquare
Dokaz. Dokaz ćemo provesti na primjeru dviju kružnica (što ne vodi smanjenju općenitosti, jer je slučaj pravca i kružnice zapravo specijalan slučaj dviju kružnica). Povucimo tangente t_{1} i t_{2} kroz točku presjeka kružnica. Prema teoremu 8 , kut između slika kružnica jednak je kutu između slika tangenti. Inverzijom s centrom u O, pravac t_{i} preslikava se u samog sebe ili u kružnicu čija je tangenta u točki O paralelna pravcu t_{i}. Zato je kut između slika pravaca t_{1} i t_{2} jednak kutu između originala. Time je tvrdnja dokazana.
\ \blacksquare
Navedeni teoremi dovoljni su za uspješno korištenje inverzije u elementarnoj planimetriji (kao što ćemo i vidjeti na primjerima). No, sa znanstvene strane potrebno je na ovom mjestu dati još nekoliko napomena koje inverziju povezuju s modernim tokovima u geometriji.
S analitičke strane, inverziju krivulje možemo promatrati kroz transformaciju koordinata na temelju sljedećih teorema, koje navodimo bez dokaza samo zato što spomenuti teoremi nisu nužni za korištenje inverzije u standardnoj školskoj i natjecateljskoj planimetriji. No, čitatelj s osnovnim poznavanjem analitičke geometrije lako se može uvjeriti da ovi teoremi jednostavno slijede iz definicije
Teorem 11. Ako je polarna jednadžba krivulje K dana s r=r(\theta), tada je polarna jednadžba njoj inverzne krivulje dana jednadžbom r=k^{2}/r(\theta), gdje je k polumjer inverzije.
Teorem 12. Ako je O(x_{0},y_{0}) centar, a k polumjer inverzije, tada je krivulja inverzna krivulji C(f(t),g(t)) u Kartezijevim pravokutnim koordinatama dana s7
x=x_{0} + \frac{k^{2} (f-x_{0})}{(f-x_{0})^{2}+(g-y_{0})^{2}}
y=y_{0} + \frac{k^{2} (g-y_{0})}{(f-x_{0})^{2}+(g-y_{0})^{2}}.
Koristeći se ovim teoremima, nije teško pokazati i analitički rezultate koje smo dobili kroz teoreme
2Primjeri
Brojni su primjeri korištenja inverzije u planimetrijskim problemima. Kroz većinu primjera provlači se jedna važna činjenica: inverziju primjenjujemo u slučajevima kad se jedna točka na slici zadatka nameće kao centar problema: kroz nju prolazi više kružnica, određuje više važnih kutova i slično.
Ovdje ćemo se ograničiti na primjere iz „natjecateljske prakse”. Naime, iako je jako ilustrativna primjena inverzije na tzv. pramene kružnica i sustave koje čine same kružnice (vidi npr. nešto više o Steinerovoj porizmi, ili o Apolonijevim krugovima u
Primjer 13. ([8] , Ptolomejev teorem) Za konciklične točke A, B, C, D vrijedi: AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD.
Rješenje. Promatrajmo inverziju s centrom u D i proizvoljnim polumjerom r. Opisana kružnica trokuta ABC preslikava se u pravac koji prolazi točkama A', B' i C' (teorem
\frac{AB\cdot r^{2}}{AD\cdot BD}+\frac{BC\cdot r^{2}}{BD\cdot CD} = \frac{AC\cdot r^{2}}{AD\cdot CD}.
Množenjem posljednje jednakosti s (AD\cdot BD\cdot CD)/r^{2} dobivamo traženu jednakost. Provedemo li postupak unatrag, nije teško dobiti i obrat ovog teorema. Primjer 14. ([3] ) Dane su kružnice k_{1}, k_{2}, k_{3} i k_{4} takve da svaka od kružnica k_{2}, k_{4} dodiruje kružnice k_{1} i k_{3}, pri čemu točke dodira nisu kolinearne. Dokazati da su točke dodira konciklične.
Rješenje. Označimo točke dodira kružnica k_{1} i k_{2}, k_{2} i k_{3}, k_{3} i k_{4} te k_{4} i k_{1} redom s A, B, C i D. Inverzija s centrom u A proizvoljnog polumjera preslikava k_{1} i k_{2} u paralelne pravce k_{1}' i k_{2}', a k_{3} i k_{4} u kružnice k_{3}' i k_{4}' koje se dodiruju u točki C', a pravce k_{2}' i k_{4}' dodiruju redom u B' i D'. Očito su B', C' i D' kolinearne točke, pa B, C i D leže na kružnici koja prolazi točkom A (teorem
Primjer 15. ([8] , Iran 1995.) Označimo s M, N i P točke dodira upisane kružnice trokuta ABC i stranica AB, BC i CA, redom. Dokazati da su središte upisane i opisane kružnice trokuta ABC te ortocentar trokuta MNP kolinearni.
Rješenje. Središte upisane kružnice trokuta ABC i ortocentar trokuta MNP leže na Eulerovom pravcu8 trokuta MNP. Inverzijom u odnosu na upisanu kružnicu trokuta ABC točke A, B i C preslikaju se u A', B' i C' koje su redom polovišta dužina PM, MN i NP. Budući da je središte opisane kružnice trokuta A'B'C' ujedno i središte kružnice devet točaka9 trokuta MNP, koji se nalazi na Eulerovom pravcu trokuta MNP, središte kružnice opisane oko trokuta ABC također se nalazi na ovom pravcu.
Primjer 16. ([4] , IMO 1996.) Neka je P točka u unutrašnjosti trokuta ABC takva da vrijedi \angle APB - \angle ACB = \angle APC - \angle ABC i neka su D i E središta upisanih kružnica trokuta APB i APC, redom. Pokazati da se AP, BD i CE sijeku u jednoj točki.
Rješenje. Primijenimo li inverziju s centrom u A i proizvoljnim polumjerom r, zadani uvjet pretvara se u \angle B'C'P' = \angle C'B'P', tj. B'P'=P'C'. Budući da je P'B'= PB\cdot r^{2}/(AP\cdot AB) (teorem
Primjer 17. ([3] , Izrael 1995.) Neka je PQ promjer polukružnice s, a kružnica k iznutra dodiruje s i dužinu PQ u točki C. Neka su A i B redom točke na s i PQ takve da je AB tangenta na k okomita na PQ. Dokazati da je AC simetrala kuta \angle PAB.
Rješenje. Promatrajmo inverziju s centrom u C, proizvoljnog polumjera. Polukružnica s preslikava se u polukružnicu s' promjera P'Q', kružnica k u tangentu k' polukružnice s' paralelnu s P'Q', a AB u kružnicu l čije se središte nalazi na P'Q' i dodiruje k' (pa je polumjer kružnice l jednak polumjeru polukružnice s'). Kružnica l tada siječe s' i P'Q' redom u točkama A' i B'. Očito je P'A'B' jednakokračan trokut, pa vrijedi \angle PAC = \angle A'P'C = \angle A'B'C = \angle BAC (teorem
Primjer 18. ([11] , Srbija 2008.) Dan je trokut ABC. Neka su točke D i E na pravcu AB u redoslijedu D - A - B - E takve da je AD = AC i BE = BC. Simetrale unutarnjih kutova kod tjemena A i B sijeku nasuprotne stranice redom u točkama P i Q, a kružnicu opisanu trokutu ABC redom u točkama M i N. Pravac koji spaja točku A sa središtem kružnice opisane trokutu BME i pravac koji spaja točku B sa središtem kružnice opisane trokutu AND sijeku se u točki X, X \neq C. Dokazati da je CX \perp PQ.
Rješenje. Označimo s U središte kružnice opisane trokutu BME. Primijenimo li inverziju s centrom u A i kvadratom polumjera AB\cdot AC, točke B i C preslikavaju se u točke B' i C' simetrične točkama C i B u odnosu na AP, točke P i M preslikavaju se jedna u drugu, a E preslikava se u točku E' simetričnu Q u odnosu na AP. Prema tome, pravac AU poklapa se s pravcem koji spaja A sa središtem kružnice B'PE'.
Vidimo da je taj pravac simetričan pravcu AZ u odnosu na simetralu kuta A, gde je Z središte kružnice opisane trokutu CPQ. Analogno se dobiva da je pravac BZ simetričan pravcu koji spaja B sa središtem V kružnice AND u odnosu na simetralu kuta B. Po Cevinu teoremu u trigonometrijskom obliku, pravci simetrični pravcima AU, BV, CX u odnosu na simetrale kutova A, B, C redom se također sijeku u jednoj točki, što znači da je pravac CZ simetričan CX u odnosu na simetralu kuta C. No, kako je Z središte kružnice CPQ, pravac CX sadržava visinu trokuta CPQ, što je trebalo i dokazati.
Analizom ovih primjera čitatelj je mogao doći do zaključka da primjena inverzije često pojednostavljuje inače kompliciran problem (uglavnom je, naime, riječ o problemima koji su i nastali invertiranjem poznatijih, jednostavnih problema). No, to nije uvijek slučaj. Mnoge probleme primjena inverzije može dodatno zakomplicirati – zato oprez!
3Zadaci za samostalan rad
Zadatak 19. ([9] , Dunavski kup 2007.) Neka je točka E polovište dijagonale BD tetivnog četverokuta ABCD i neka su k_{1}, k_{2}, k_{3} i k_{4} opisane kružnice trokuta AEB, BEC, CED i DEA, redom. Ako je pravac CD tangenta na kružnicu k_{4}, dokazati da su tada pravci BC, AB i AD redom tangente na kružnice k_{1}, k_{2} i k_{3}.
Zadatak 20. ([3] ) Dokazati Feuerbachov teorem: kružnica devet točaka dodiruje upisanu i sve tri pripisane kružnice trokuta.
Zadatak 21. ([4] , IMO Shortlist 2003.) Neka su \Gamma_{1}, \Gamma_{2}, \Gamma_{3}, \Gamma_{4} nepodudarne kružnice takve da se \Gamma_{1} i \Gamma_{3} te \Gamma_{2} i \Gamma_{4} dodiruju izvana u točki P. Neka su A, B, C i D redom točke presjeka \Gamma_{1} i \Gamma_{2}; \Gamma_{2} i \Gamma_{3}; \Gamma_{3} i \Gamma_{4}; \Gamma_{4} i \Gamma_{1}, pri čemu su sve te točke različite od P. Dokazati da vrijedi
\frac{AB\cdot BC}{AD\cdot DC}=\frac{PB^{2}}{PD^{2}}.
Zadatak 22. ([7] , Rumunjska 1997.) Označimo s k upisanu kružnicu trokuta ABC i s D proizvoljnu točku na stranici BC tog trokuta. Dokazati da se kružnice koje dodiruju k, AD i BD te k, AD, DC međusobno dodiruju ako i samo ako je \angle BAD = \angle CAD.
Zadatak 23. ([7] , SAD 1993.) Neka je ABCD četverokut s međusobno okomitim dijagonalama koje se sijeku u O i neka su točke O_{1}, O_{2}, O_{3} i O_{4} osno simetrične točki O u odnosu na AB, BC, CD i DA, redom. Dokazati da je četverokut O_{1}O_{2}O_{3}O_{4} tetivni.
Zadatak 24. ([4] , IMO Shortlist 1993.) Neka je točka I središte upisane, a O središte opisane kružnice k trokuta ABC. Kružnica k_{C} dodiruje stranice CA i CB u točkama D i E te iznutra dodiruje kružnicu k. Dokazati da je točka I polovište dužine DE.
Zadatak 25. ([4] , IMO Shortlist 2002.) Upisana kružnica k oštrokutnog trokuta ABC dodiruje stranicu BC u točki K. Točka M je polovište visine spuštene iz točke A na BC, a N (druga) točka presjeka kružnice k i KM. Dokazati da se opisana kružnica trokuta BCN i kružnica k dodiruju u točki N.
Bibliografija
1Ravnina E se preslikava, strogo govoreći, u tzv. inverzivnu ravninu I, euklidsku ravninu proširenu točkom u beskonačnosti \infty (koja se smatra zajedničkom točkom svih pravaca te ravnine, pa, u krajnjem slučaju, i onih paralelnih). Primijetimo da proširivanjem polazne ravnine E točkom \infty otvaramo mogućnost da se središte inverzione kružnice k nađe u toj točki, pa se kružnica k pretvara u pravac, na čemu se zasniva i sljedeći dio našeg izlaganja. Također vrijedi spomenuti da više o uvođenju proširene euklidske ravnine putem tzv. stereografske projekcije zainteresirani čitatelji mogu naći u članku [ 8] te u [5] .
2Kažu da je tako na ideju inverzije došao Apolonije iz Perge, u jednom od svojih izgubljenih djela (ta ideja vidi se i u teoremu o Apolonijevoj kružnici, vidi [ 1]). U novije doba, tek je Jacob Steiner u XIX. stoljeću pokazao pravu moć inverzije, iskoristivši je u svojim radovima za virtuozne dokaze nekih starih i postavljanje nekih novih teorema.
3To znači da je invertirana slika svake točke P' točka P, tj. I(I(P))=P, gdje I označuje inverziju.
4Kad govorimo o krivulji q koja prolazi centrom inverzije O, mislimo na q\setminus \lbrace O\rbrace, zbog specifičnosti (ne)preslikavanja točke O.
5Ovo ipak ne znači da se u slučaju preslikavanja kružnice u kružnicu središte jedne preslikava u središte druge – možete to provjeriti!
6Točnije, antikonformalno preslikavanje, jer preslikani (orijentirani) kut je suprotan po smjeru onom originalnom. Napomenimo i to da kutom između dviju krivulja smatramo kut između tangenti na te krivulje.
7Primijetimo da se, ako se za kružnicu inverzije izabere jedinična kružnica sa središtem u ishodištu, navedene jednadžbe dosta pojednostavljuju.
8Eulerov pravac trokuta je pravac na kojem leže središte opisane kružnice, težište i ortocentar tog trokuta.
9Kružnica devet točaka ili Feuerbachova (Eulerova) kružnica trokuta ABC prolazi polovištima stranica trokuta, nožištima normala i polovištima dužina AH, BH i CH, gdje je H ortocentar trokuta ABC.
