O superalgebrama
Sažetak
U članku uvodimo definiciju asocijativne superalgebre, osnovna svojstva, te dajemo neke primjere. 1Uvod
U posljednjih nekoliko desetljeća, jedna od najplodonosnijih tema iz algebre jest nedavno razvijena teorija graduiranih algebri, te takozvanih superalgebri. U
Pod algebrom ćemo podrazumijevati asocijativnu algebru nad poljem \Phi. Smatramo da su definicije algebre, modula i ideala poznate. Međutim, napisat ćemo neke definicije i objasniti neka osnovna svojstva algebri. Algebra \mathcal{A} je jednostavna, ako je {\mathcal{A}}^{2}\ne 0 i ako su 0 i \mathcal{A} jedini ideali u \mathcal{A}. Kažemo da je algebra \mathcal{A} prosta ako za nju vrijedi da je produkt bilo kojih dvaju ne-nul ideala opet ne-nul ideal. To je ekvivalentno sljedećoj implikaciji: Ako je a \mathcal{A} b =0 za neke a,b\in \mathcal{A}, slijedi da je a=0 ili b=0. Primjer proste algebre je M_{n}(\mathbb{C}), tj. algebra svih n \times n kompleksnih matrica. Kažemo da je algebra poluprosta ako nema ne-nul nilpotentnih ideala (ideal \mathcal{I} u algebri \mathcal{A} je nilpotentan, ako je {\mathcal{I}}^{n}=0 za neki n\in \mathbb{N}). To je ekvivalentno svojstvu: ako je a \mathcal{A} a=0 za neki a\in \mathcal{A}, tada je a=0. Svaka prosta algebra je i poluprosta. Obrat, međutim, općenito ne vrijedi. Posebno, ako je \mathcal{A} \neq 0 prosta algebra, tada je \mathcal{A} \times \mathcal{A} poluprosta algebra koja nije prosta.
2Superalgebre
Dragi čitatelji, u ovom poglavlju pozivamo vas u svijet superalgebri. Uvest ćemo neke osnovne definicije te prikazati neke primjere asocijativnih super\-algebri.
Superalgebra je {\mathbb{Z}}_{2}-graduirana algebra. To znači da postoje \Phi-podmoduli \mathcal{A}_{0} i \mathcal{A}_{1} od \mathcal{A} takvi da vrijedi: \mathcal{A}=\mathcal{A}_{0} \oplus \mathcal{A}_{1}, \mathcal{A}_{0} \mathcal{A}_{0}\subseteq \mathcal{A}_{0} (što znači da je \mathcal{A}_{0} podalgebra \mathcal{A}), \mathcal{A}_{0} \mathcal{A}_{1} \subseteq \mathcal{A}_{1}, \mathcal{A}_{1} \mathcal{A}_{0} \subseteq \mathcal{A}_{1} i \mathcal{A}_{1} \mathcal{A}_{1} \subseteq \mathcal{A}_{0}. Kažemo da je \mathcal{A}_{0} parni dio, a \mathcal{A}_{1} neparni dio od \mathcal{A}.
Asocijativna superalgebra \mathcal{A} je asocijativna \mathbb{Z}_{2}-graduirana algebra. Kažemo da je \mathcal{A} trivijalna superalgebra ako je \mathcal{A}_{1}=0. Za a \in \mathcal{A}_{k} (gdje je k \in \lbrace 0,1\rbrace) kažemo da je homogen stupnjak} i pišemo |a|=k.
Graduiran\Phi-podmodul} \mathcal{B} asocijativne superalgebre \mathcal{A} je podmodul algebre \mathcal{A} za koji vrijedi
\mathcal{B} = \mathcal{B} \cap \mathcal{A}_{0} \oplus \mathcal{B} \cap \mathcal{A}_{1}.
U tom slučaju pišemo \mathcal{B}_{0} = \mathcal{B} \cap \mathcal{A}_{0} i B_{1} = \mathcal{B} \cap \mathcal{A}_{1}, što znači \mathcal{B} = \mathcal{B}_{0} \oplus \mathcal{B}_{1}. Ako je \mathcal{B} graduirana podalgebra od \mathcal{A}, tada je \mathcal{B} i asocijativna superalgebra.
Graduiran ideal (ili superideal) \mathcal{I} superalgebre \mathcal{A} je ideal od \mathcal{A} koji je i graduiran \Phi-podmodul, tj. \mathcal{I} = \mathcal{I} \cap \mathcal{A}_{0} \oplus \mathcal{I} \cap \mathcal{A}_{1}, ili \mathcal{I} = \mathcal{I}_{0} \oplus \mathcal{I}_{1}.
Napišimo ponešto o graduiranosti. Prirodno se postavlja pitanje kako opisati \mathbb{Z}_{2}-graduiranost. Za danu asocijativnu superalgebru \mathcal{A} = \mathcal{A}_{0} \oplus \mathcal{A}_{1} definirajmo funkciju \sigma ~ : ~ \mathcal{A} \to \mathcal{A} sa (a_{0}+a_{1})^{\sigma} = a_{0} - a_{1}, te primijetimo da je tako definirana funkcija \sigma zapravo automorfizam od \mathcal{A} za koji vrijedi \sigma^{2} = \text{id}. Obratno, za danu algebru \mathcal{A} i automorfizam \sigma od \mathcal{A} sa svojstvom \sigma^{2} = \text{id}, \mathcal{A} postaje superalgebra definiranjem \mathcal{A}_{0} = \lbrace a \in \mathcal{A} \ | \ \sigma (a) = a\rbrace i {\mathcal{A}}_{1} = \lbrace a \in \mathcal{A} \ | \ \sigma (a) = -a\rbrace (doista, bilo koji element a \in \mathcal{A} može se prikazati kao a= \frac{a + a^{\sigma}}{2} + \frac{a - a^{\sigma}}{2}, te je \frac{a + a^{\sigma}}{2} \in \mathcal{A}_{0}, \frac{a - a^{\sigma}}{2} \in \mathcal{A}_{1}). Tako reći, {\mathbb{Z}}_{2}-graduiranje može se karakterizirati preko automorfizma s kvadratom \text{id}.
Podmodul \mathcal{B} superalgebre \mathcal{A} je graduiran ako i samo ako je \mathcal{B}^{\sigma} = \mathcal{B}. Neka je centar \mathcal{Z}(\mathcal{A}) superalgebre \mathcal{A} upravo centar algebre \mathcal{A} u uobičajenom smislu, tj. \mathcal{Z}(\mathcal{A}) = \lbrace a \in \mathcal{A} \ | \ ab=ba \ \forall b \in \mathcal{A} \rbrace. Centar je graduiran, jer svaki automorfizam preslikava centar na centar. To znači da je \mathcal{Z}(\mathcal{A}) = \mathcal{Z}(\mathcal{A})_{0} \oplus \mathcal{Z}(\mathcal{A})_{1}.
U sljedećem tekstu prikazat ćemo neke primjere asocijativnih superalgebri.
Primjer 1. Neka je \mathcal{A} algebra i neka je c \in \mathcal{A} invertibilan element. Nadalje, neka je \sigma automorfizam algebre \mathcal{A} definiran s x^{\sigma} = cxc^{-1} za sve x \in \mathcal{A}. Uočimo da je \sigma^{2} = \text{id} ako i samo ako je c^{2} \in \mathcal{Z}(\mathcal{A}). Slijedi da je \mathcal{A}=\mathcal{A}_{0} \oplus \mathcal{A}_{1} superalgebra, gdje je \mathcal{A}_{0} = \lbrace x \in \mathcal{A} \ | \ xc=cx\rbrace i \mathcal{A}_{1} = \lbrace x \in \mathcal{A} \ | \ xc=-cx\rbrace.
Konkretno, neka je \mathcal{A}=M_{r+s}(\Phi) algebra svih (r+s) \times (r+s) matrica nad \Phi, gdje su r,s \in \mathbb{N}. Za element c možemo izabrati matricu
Konkretno, neka je \mathcal{A}=M_{r+s}(\Phi) algebra svih (r+s) \times (r+s) matrica nad \Phi, gdje su r,s \in \mathbb{N}. Za element c možemo izabrati matricu
\begin{bmatrix} I_{r} & 0 \\ 0 & -I_{s} \end{bmatrix},
gdje je I_{r} jedinična matrica iz M_{r}(\Phi) te I_{s} jedinična matrica iz M_{s}(\Phi). Tada su parni i neparni dijelovi dani s
A_{0} = \left[\begin{array}{cc} M_{r}(\Phi) & 0 \\ 0 & M_{s}(\Phi) \\ \end{array}\right], \quad \mathcal{A}_{1} = \left[\begin{array}{cc} 0 & M_{r,s}(\Phi) \\ M_{s,r}(\Phi) & 0 \\ \end{array}\right],
gdje M_{r,s}(\Phi) označava skup svih r \times s matrica. Ova algebra je asocijativna superalgebra, koju obično označujemo s M(r|s). Primjer 2.
Neka je A algebra nad \Phi i stavimo \mathcal{A} = A \times A. Nadalje, neka je \sigma automorfizam na \mathcal{A} definiran sa \sigma(a,b)=(b,a), za sve a,b \in A. Tada vrijedi \mathcal{A} = \mathcal{A}_{0} \oplus \mathcal{A}_{1}, gdje je parni dio dan s \mathcal{A}_{0} = \lbrace (a,a) \ | \ a \in A\rbrace, a neparni s \mathcal{A}_{1} = \lbrace (b,-b) \ | \ b \in A\rbrace. Pokaže se da vrijedi:
\mathcal{A} \cong \Big\lbrace \left[\begin{array}{cc} C & D \\ D & C \\ \end{array}\right] \ | \ C,D \in A \Big\rbrace ,
\mathcal{A}_{0} \cong \Big\lbrace \left[\begin{array}{cc} C & 0 \\ 0 & C \\ \end{array}\right] \ | \ C \in A \Big\rbrace , \qquad \mathcal{A}_{1} \cong \Big\lbrace \left[\begin{array}{cc} 0 & D \\ D & 0 \\ \end{array}\right] \ | \ D \in A \Big\rbrace .
U ovom slučaju kažemo da je superalgebra \mathcal{A} zadana automorfizmom zamjene. Primjer 3.
Neka je \mathcal{A} = Q(\alpha, \beta)4-dimenzionalna algebra nad \Phi, s bazom \lbrace 1,uv,u,v\rbrace. Definirajmo množenje na sljedeći način: u^{2}=\alpha \in \Phi, v^{2}=\beta \in \Phi, uv=-vu. Posebno, \mathcal{A} je algebra kvaterniona nad \mathbb{R}. Stavimo \mathcal{A}_{0} = \Phi 1 + \Phi uv i \mathcal{A}_{1} = \Phi u + \Phi v. Vrijedi da je \mathcal{A} = \mathcal{A}_{0} \oplus \mathcal{A}_{1} asocijativna superalgebra, koju zovemo superalgebra kvaterniona.
Navedimo neka osnovna svojstva asocijativnih superalgebri. Asocijativna superalgebra \mathcal{A} je jednostavna, ako nema pravih ne-nul graduiranih ideala. Jedini graduirani ideali su 0 i cijela superalgebra \mathcal{A}. Primijetimo da jednostavna superalgebra ne mora biti jednostavna i kao algebra. Ako produkt dvaju ne-nul graduiranih ideala superalgebre \mathcal{A} uvijek bude različit od 0, kažemo da je \mathcal{A} prosta superalgebra. Superalgebra \mathcal{A} je poluprosta, ako nema ne-nul nilpotentnih graduiranih ideala. Kao što je zabilježeno u
Neka je \mathcal{A} prosta superalgebra. Prirodno se javlja pitanje jesu tada i algebre \mathcal{A} i \mathcal{A}_{0} proste. Sljedeća dva primjera pokazuju da to ne mora vrijediti uvijek.
Primjer 4. Neka je A prosta algebra nad \Phi i neka je \mathcal{A} = A \times A superalgebra s graduiranošću definiranom kao u primjeru 2 . Ova algebra je prosta superalgebra (produkt bilo kojih dvaju ne-nul graduiranih ideala je različit od 0), ali nije prosta algebra, jer (0 \times A)(A \times 0)=0.
Primjer 5. Superalgebra M(r|s) je prosta superalgebra. Skupovi
\mathcal{I} = \Big\lbrace \left[\begin{array}{cc} C & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right] \ | \ C \in M_{r}(\mathbb{F})\Big\rbrace \quad \text{i} \quad \mathcal{J} = \Big\lbrace \left[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & D \\ \end{array}\right] \ | \ D \in M_{s}(\mathbb{F})\Big\rbrace
su ne-nul ideali u algebri M(r|s)_{0} takvi da im je produkt 0. Stoga algebra M(r|s)_{0} nije prosta algebra. Veza između proste superalgebre (ili poluproste superalgebre) \mathcal{A} i prostih algebri (ili poluprostih algebri) \mathcal{A} i \mathcal{A}_{0} je sljedeća: Ako je \mathcal{A} asocijativna poluprosta superalgebra, tada su \mathcal{A} i \mathcal{A}_{0} također poluproste algebre. Ako je \mathcal{A} asocijativna prosta superalgebra, tada je ili \mathcal{A} prosta algebra, ili \mathcal{A}_{0} prosta algebra. Dokazi tih rezultata mogu se vidjeti u
3Zaključak
Prirodno pitanje koje se postavlja jest kako generalizirati neke klasične strukture. Opišimo ukratko pozadinu toga. Naprimjer, neka je \mathcal{A} asocijativna algebra. Uvođenjem novog produkta u \mathcal{A} (takozvanog Jordanovog produkta) a \circ b = ab + ba, \mathcal{A} postaje Jordanova algebra, koju obično označujemo s \mathcal{A}^{+}. Postavlja se pitanje veze između strukturalnih svojstava algebri \mathcal{A} i \mathcal{A}^{+} (naprimjer, svaki ideal u algebri \mathcal{A} je ideal i u {\mathcal{A}}^{+}; vrijedi li obrat?). Takva pitanja razmatrao je Herstein 1950-ih (vidi
Na kraju, naznačimo da možemo proširiti pojam superalgebre na \mathcal{G}-graduirane algebre, gdje je \mathcal{G} neka Abelova grupa. Algebru zovemo \mathcal{G}-graduirana ako postoje potprostori \mathcal{A}_{g}, g \in \mathcal{G}, od {{\mathcal{A}}}, takvi da je \mathcal{A} = \bigoplus_{g \in \mathcal{G}}\mathcal{A}_{g} i \mathcal{A}_{g} \mathcal{A}_{h} \subseteq \mathcal{A}_{gh} za sve g, h \in \mathcal{G}. Superalgebre su zapravo posebni slučajevi \mathcal{G}-graduiranih algebri. U tom slučaju \mathcal{G} = \mathbb{Z}_{2}. U kontekstu \mathcal{G}-graduiranih algebri možemo također definirati pojmove popout modula, ideala, graduiranih prostih algebri ... Stoga se prirodno javljaju mnogi novi problemi.
Bibliografija
