Teorija politopa u dvodimenzionalnom i trodimenzionalnom Euklidskom prostoru jedna je od najstarijih grana matematike. Još od antičkih vremena bila je intrigantno područje tadašnjim matematičarima pa su tako regularni poligoni i poliedri činili znatan dio njihovih proučavanja. Pretpostavlja se da su čak i pitagorejci bili upoznati s regularnim poliedrima.

Osoba koja je prva sustavno iznijela teoriju regularnih poliedara bio je Euklid. U XIII. knjizi „Elemenata”, posvećenoj upravo regularnim poliedrima, Euklid, uz njihovu definiciju, daje dokaz njihove egzistencije, konstrukcije pa i dokaz da ih postoji samo pet. Zbog algebarskih, geometrijskih i kombinatornih svojstava koja regularni poliedri imaju, matematičari su često pokušavali naći njima analogne objekte koji bi imali neka, ne nužno sva, svojstva regularnih poliedara. Međutim, bilo je potrebno duže razdoblje da bi se stvorili preduvjeti za daljnji razvoj ovog područja matematike pa je tek u 19. stoljeću dokazano da postoje n–dimenzionalni politopi, n \geq 4. U trenutku kada je Ludwig Schäfli dokazao da takvi objekti postoje, tek je nekolicina matematičara bila svjesna da je geometrija u n–dimenzionalnom prostoru, n \geq 4, moguća. Također je pokazano da su jedini regularni politopi u tim prostorima poopćenja određenih regularnih poliedara. Premda su regularni politopi uglavnom proučavani radi svojeg oblika, a prvobitna im je upotreba bila u umjetnosti, danas imaju i praktičnu primjenu u mineralogiji, arhitekturi, linearnom programiranju i drugim područjima.

Temeljna ideja članka je upoznati čitatelja s osnovnim pojmovima iz teorije regularnih politopa te se nadamo da ćemo nekoga potaknuti da sazna više o ovoj temi. Naše putovanje kroz dimenzije počinjemo od najmanjih:


U 0–dimenzionalnom prostoru jedini objekti su točke dok u jednodimenzionalnom imamo i dužine. Iz sljedeće definicije vidimo da je 2–dimenzionalni prostor nešto bogatiji.




Posebnu klasu poligona čine regularni poligoni:


L. Schläfli uveo je notaciju regularnih politopa koja se njemu u čast naziva Schläflijev simbol. U kontekstu Schläflijeve notacije, regularne poligone s p stranica, odnosno p–terokute, označavamo s \left\lbrace p \right\rbrace. Laganim računom dobivamo da su mjere unutrašnjih kutova \left\lbrace p \right\rbrace–a jednake
\displaystyle\frac{ \left( p-2 \right) \cdot 180^{\circ}}{p}. Primjenom teorema SKS o sukladnosti trokuta na jednakokračne trokute čiji je jedan vrh vrh \left\lbrace p \right\rbrace–a, a osnovica vršna figura tog vrha, dobivamo da su vršne figure \left\lbrace p \right\rbrace–a sukladne.

Regularnih poligona ima beskonačno mnogo, za razliku od njihovih višedimenzionalnih poopćenja.




Na sljedećoj se slici vidi što se događa u slučaju kvadrata:


U ovom ćemo se poglavlju upoznati s trodimenzionalnim tijelima te nekim njihovim svojstvima. Počnimo s definicijom:





Schläflijev simbol regularnog poliedra je \left\lbrace p,q \right\rbrace pri čemu je \left\lbrace p \right\rbrace ćelija, a \left\lbrace q \right\rbrace vršna figura danog poliedra. Na slici 9 može se vidjeti primjer.

U poliedru \pi_{3} označimo broj vrhova s N_{0} , broj bridova s N_{1} te broj strana s N_{2}. Imajući u vidu ove oznake, vrijedi sljedeći, važan rezultat:



U sljedećem teoremu upotrebljavamo pojmove prizma, piramida i antiprizma, od kojih definiramo, ne sasvim precizno, samo posljednji. Poznato je na koji način možemo točku i \left\lbrace p \right\rbrace spojiti s p trokuta kako bismo formirali piramidu. Također je jasno da spajanjem dvaju sukladnih \left\lbrace p \right\rbrace pravokutnicima dobivamo prizmu. Na slici 3 može se vidjeti peterostrana i osmerostrana prizma.
Antiprizma je poliedar sastavljen od dvaju sukladnih paralelnih poligona (baza) tako postavljenih u prostoru da ih možemo povezati nizom „alternirajućih” trokuta. Kažemo da je antiprizma p–strana ako su njene baze \left\lbrace p \right\rbrace. Primjer šesterostrane i sedmerostrane antiprizme ilustrirani su slikom 4. Kao što smo već spomenuli, regularni poliedri bili su predmet izučavanja antičkih matematičara, a budući da im je Platon pridavao posebna značenja, u literaturi su poznati i kao Platonova tijela.



U tablici 1 navodimo Platonova tijela zajedno sa značenjima koja im je Platon pridao te osnovne podatke o njima.
Pogledajmo na primjeru ikozaedra što predstavlja Schläflijev simbol te što su pripadne vršne figure i ćelije. Schläflijev simbol ikozaedra je \left\lbrace 3,5 \right\rbrace, što po definiciji znači da su ćelije trokuti (jasno, regularni), a vršne figure peterokuti (također regularni), kao što se može uočiti na već prije spomenutoj slici 9.



Na primjerima ćemo vidjeti što su to dualni i okrnjeni poliedri. Odmah je jasno da je tetraedar dualan sam sebi. Oktaedar i kocka su međusobno dualni te su isto tako dodekaedar i ikozaedar međusobno dualni. Navedeno možete vidjeti na slikama 10 i 11. Dualan poligon, odnosno poliedar, regularnog poligona, tj. poliedra je regularan. Primijetimo da je \left\lbrace p,q \right\rbrace dualan s \left\lbrace q,p \right\rbrace (analogno vrijedi i za više dimenzije).

Iz definicije je jasno, uz gornju napomenu, da je okrnjen poligon regularnog poligona regularan. No, okrnjen poliedar regularnog poliedra ne mora nužno biti regularan. Npr. strane okrnjene kocke su trokuti – kao vršne figure kocke, i kvadrati – okrnjeni poligoni strana kocke. Takvo tijelo ne može biti regularno. S druge strane, okrnjen tetraedar je oktaedar.
Slika 12 zornije ilustrira navedeno. Kako bismo se na adekvatan način mogli pozabaviti manje intuitivnim četvrtom i višim dimenzijama, u sljedećem poglavlju navodimo potrebne pojmove.








Uočimo da je ćelija n–dimenzionalnog politopa \left( n-1 \right)–dimenzionalni politop.




Za dva k–lanca \sum_{j=1}^{n_{k}}x_{j}\pi_{k}^{j} , \sum_{j=1}^{m_{k}}y_{j}\lambda_{k}^{j} definiramo njihovu sumu kao lanac \sum_{j=1}^{M}z_{j}\mu_{k}^{j} , gdje je M=\max \left\lbrace n_{k},m_{k} \right\rbrace. Nadalje je Neka su indeksi l_{1} \text{ i } l_{2} takvi da je \mu_{k}^{j}=\pi_{k}^{l_{1}}=\lambda_{k}^{l_{2}}. Ako takvi ne postoje, stavimo x_{l_{1}}=0 odnosno y_{l_{2}}=0. Za koeficijente z_{j} vrijedi
Rub k–lanca stoga možemo definirati kao sumu rubova politopa koji čine taj lanac. Jasno je da će tada rub politopa \pi_{k+1} biti k–lanac čiji rubni \left( k-1 \right)–lanac „nestaje” (svi koeficijenti x_{j} iz definicije su 0). Takav k–lanac nazivamo k–mreža.




Očito je da su sve ćelije regularnog politopa sukladne, a može se pokazati da isto vrijedi i za vršne figure.



Schläflijev simbol regularnog politopa \pi_{n} u n–dimenzionalnom prostoru, n\gt 2 , označavamo s \left\lbrace m_{1},\ldots,m_{n-1} \right\rbrace, pri čemu je \left\lbrace m_{1},\ldots,m_{n-2} \right\rbrace ćelija od \pi_{n} , a \left\lbrace m_{2},\ldots,m_{n-1} \right\rbrace njegova vršna figura.


Proučavanje objekata u četvrtoj dimenziji ponajviše se temelji na intuiciji i na dimenzionalnoj analogiji. Ovim malim osvrtom pokušat ćemo razotkriti neke „tajne” ovog prostora.


Analogno slučaju n=3 i ovdje ćemo s N_{k} označavati broj k–ćelija politopa.




Gore navedeni teorem nećemo dokazivati, budući da je sam dokaz vrlo složen i nije bitan za daljnja razmatranja koja ćemo provesti. Zainteresirani čitatelj dokaz može vidjeti u [3], teorem 4.6.1., str. 65.–69.. U tablici 2 navodimo broj k–ćelija regularnih četverodimenzionalnih politopa.

Pomnije ćemo proučiti konstrukciju \alpha_{4}, \beta_{4} i \gamma_{4} zato što su njihove generalizacije jedini regularni politopi u većim dimenzijama.

(1)	Konstrukciju provodimo u tri koraka. Neka je dana dužina u ravnini - po definiciji je to \alpha_{1}. U sljedećem koraku odabiremo točku tako da ona uz \alpha_{1} čini jednakostraničan trokut. Na taj smo način dobili \alpha_{2}. Nadalje, \alpha_{3} dobivamo odabirom točke u prostoru tako da je ona vrh tetraedra s bazom \alpha_{2}. Sada je jasno da, u četvrtoj dimenziji, uz prikladan odabir točke, dobivamo \alpha_{4}. Navedena konstrukcija prikazana je na slici 13 . Slika 13: \alpha_{1} \Rightarrow \alpha_{2} \Rightarrow \alpha_{3} \Rightarrow \alpha_{4} Navodimo 0, 1, 2 i 3–dimenzionalne ćelije politopa \alpha_{4} uz gore navedene oznake. Napomenimo da je svaka 3–dimenzionalna ćelija tetraedar, 2–dimenzionalna jednakostraničan trokut i imajmo pritom na umu da je \alpha_{4} konveksan. \begin{align*} N_{0} &= \left\lbrace A,B,C,D,E \right\rbrace , \\ N_{1} &= \left\lbrace AB, BC, CA, DA, DB, DC, EA, EB, EC, ED \right\rbrace \\ N_{2} &= \left\lbrace ABC, ABD, BCD, ACD, EAB, EBC, ECA, EDA, EDB, EDC \right\rbrace , \\ N_{3} &= \left\lbrace ABCD, EABC, EABD, EBCD, EACD \right\rbrace . \end{align*} Na slici 14 donosimo prikaz \alpha_{4}. Slika 14: \alpha_{4}
(2)	Svaki od koraka konstrukcije \beta_{4} sastoji se od odabira odgovarajućih dviju točaka. Konstrukciju započinjemo tako da uzmemo dvije proizvoljne točke u ravnini. Dana dužina je \beta_{1}. Da bismo dobili \beta_{2} , potrebno je izabrati točke takve da je \beta_{1} dijagonala kvadrata kojem su dva vrha odabrane točke. \beta_{2} leži u ravnini koja dijeli prostor na dva dijela. Iz svakog od tih dijelova odabiremo točku takvu da je ona vrh pravilne četverostrane piramide čija je baza \beta_{2}. Jasno je da smo ovime dobili oktaedar – \beta_{3}. \beta_{4} jest generalizacija oktaedra (kao što je \alpha_{4} generalizacija tetraedra) te se dobiva analognim postupkom, samo u višoj dimenziji. Dakle, \beta_{3} leži u prostoru E^{3}\lt E^{4} te dijeli E^{4} na 2 dijela iz kojih odabiremo po jednu točku. Slika 15: \beta_{1} \Rightarrow \beta_{2} \Rightarrow \beta_{3} \Rightarrow \beta_{4} Svaka ćelija oktaedra zajedno s novoodabranom točkom čini tetraedar – ćeliju politopa \beta_{4} pa \beta_{4} ima 2\cdot 8=16 ćelija.
(3)	Sljedeća na redu je konstrukcija \gamma_{4}. Pokazat ćemo kako iz točke nizom elementarnih transformacija, preko dužine i kvadrata, dolazimo do kocke. Danu točku ( \gamma_{0} ) „razvučemo” duž proizvoljnog pravca. Dobivenu dužinu ( \gamma_{1} ) „razvučemo” po drugoj dimenziji ne bismo li dobili kvadrat ( \gamma_{2} ) koji potom „razvučemo” po trećoj dimenziji. Na taj način dolazimo do kocke ( \gamma_{3} ), što možete vidjeti na slici 16 . Probajte zamisliti što se događa kada kocku „razvlačimo” po četvrtoj dimenziji - rezultat je \gamma_{4}. Slika 16: \gamma_{0} \Rightarrow \gamma_{1} \Rightarrow \gamma_{2} \Rightarrow \gamma_{3} Na slici 17 probajte uočiti 8 paralelepipeda. U 4D to su, jasno, kocke. Slika 17: \gamma_{4}

Konstrukcije preostalih triju politopa nešto su složenije i manje intuitivne pa o njima govorimo u kratkim natuknicama bez dokaza. Zainteresirani čitatelj dokaze može pronaći u [3], str. 46.–48., str. 61.–63.

4.	Krenimo redom: 24–ćelije je okrnjen \beta_{4}. Naime, \beta_{4} ima šesnaest 3–ćelija. Iz Schläflijeva simbola vidimo da je riječ o tetraedrima. Kako smo prije pokazali, okrnjeni tetraedar je oktaedar, baš kao i vršna figura politopa \beta_{4}. Budući da \beta_{4} ima 8 vrhova, ima 8 vršnih figura – ponovno je riječ o oktaedrima. Dakle, imamo 24 regularna poliedra. To su upravo 3–ćelije politopa koji konstruiramo. No, da bismo pokazali da je ovako dobiven politop regularan, preostaje pokazati regularnost vršnih figura. Strane vršnih figura 24–ćelije su vršne figure oktaedara pa je jasno da su to kvadrati. Svaki vrh vršne figure zajednički je za tri kvadrata (svaki brid 24– ćelije zajednički je za tri ćelije) pa je polovište zajedničko za tri strane. Zaključujemo da su vršne figure kocke.
5.	Konstrukciju 600–ćelija provodimo preko 24–ćelija. Okrnjen 24–ćelije nije regularan, no „malim trikom” možemo doći do regularnog politopa. Naime, okrnjen politop nekog politopa je konveksan zatvarač skupa polovišta bridova početnog politopa. U našem je slučaju korisno stranice podijeliti u omjeru \left( \sqrt{5}+1 \right) /2. Na taj način okrnjeni oktaedri postaju ikozaedri. Kvadrati, kao vršne figure oktaedra, više ne leže u istoj ravnini, te ih možemo promatrati kao dva trokuta. Analitički se, poznavajući koordinate oktaedra, lako pokazuje da upravo omjer zlatnog reza osigurava regularnost tako dobivenog poliedra. Konveksan zatvarač skupa tako dobivenih točaka je neregularan politop koji se u literaturi označava sa s \left\lbrace 3,4,3 \right\rbrace. Trodimenzionalne ćelije tog politopa čini 120 tetraedara i 24 ikozaedra. Na svakom ikozaedru preostaje konstruirati četverodimenzionalnu piramidu čija je baza upravo dani ikozaedar, a strane 20 regularnih tetraedara. Dobivamo 120+24\cdot 20=600 tetraedara – trodimenzionalne ćelije politopa koji konstruiramo.
6.	120–ćelija je dualan 600–ćelija.

Na sljedećoj se slici može vidjeti kako iz oktaedra, uz prikladan odabir omjera kojim dijelimo stranice i prikladnu orijentaciju, dobivamo ikozaedar.


Predmet proučavanja ovog poglavlja su n–dimenzionalni politopi za n\geq 5.

Slijedi već spomenuta Euler–Poincaréova formula:



Višedimezionalni prostori siromašniji su regularnim politopima, što možemo uočiti iz sljedećeg teorema.


Politopi o kojima govori prethodni teorem su regularan n–simpleks ( \alpha_{n} ), n–dimenzionalni oktaedar ( \beta_{n} ) i n–dimenzionalna kocka ( \gamma_{n} ) koji su, kao što se da uočiti iz njihovih naziva, generalizacije tetraedra, oktaedra i kocke respektivno te su njihove konstrukcije analogne opisanima u prethodnom poglavlju. Promatrajmo regularan n–simpleks. Iz konstrukcije se vidi da je broj vrhova
N_{0}=n+1 , a budući da svaka dva vrha čine jedan brid, broj bridova je N_{1}=\binom{n+1}{2}. Broj strana je N_{2}=\binom{n+1}{3}\ - svaka tri vrha čine jednu stranu. Vidimo da općenito vrijedi da je broj k–ćelija Primijetimo da zaista vrijedi teorem 34:
Na red dolazi \beta_{n}. Označimo li s N_{k} broj k–ćelija od \beta_{n} i s N'_{k} broj k–ćelija od \beta_{n-1} – iz kojeg konstruiramo \beta_{n} , vrijedi: Pri čemu:

(1)	dobivamo tako da dodajemo dvije točke,
(2)	očito vrijedi, naime, broj već postojećih bridova uvećavamo brojem novonastalih koje dobivamo tako da dodane točke spojimo sa svim vrhovima politopa \beta_{n-1}. Isto tako za
(3)	broj 2–ćelija povećan je za dvostruki broj bridova zato što svaki brid u \beta_{n-1} čini 2–ćeliju s jednom od dodanih točaka. Jasno za
(4)	zaključujemo analogno.

Indukcijom po dimenziji prostora pokazujemo da vrijedi Za bazu uzmimo n=1, k=0. Budući da dužina ima dvije krajnje točke, vrijedi N_{0}=2 , što je u skladu s tvrdnjom. Pretpostavimo da relacija vrijedi u \left( n-1 \right)–voj dimenziji. Neka je k\in \left\lbrace 0,1,\ldots,n-1 \right\rbrace proizvoljan. Tada je: Pokažimo da za \beta_{n} vrijedi generalizacija Eulerove formule: Za kraj promotrimo poopćenje kocke. Iz konstrukcije je očito da o \gamma_{n} možemo razmišljati kao o „prizmi” čije su baze dva sukladna \gamma_{n-1}. Označimo s N_{k} broj k–ćelija u \displaystyle\gamma_{n} i s N'_{k} broj k–ćelija u \gamma_{n-1}. Vrhove od \gamma_{n} čine vrhovi dviju baza, stoga je N_{0}=2N'_{0}. Bridovi od \gamma_{n} su bridovi dviju baza i bridovi koji spajaju odgovarajuće vrhove baza pa vrijedi jednakost N_{1}=2N'_{1}+N'_{0}. Općenito, k–ćeliju od \gamma_{n} čine ćelije dviju baza i k–ćelije koje nastaju spajanjem odgovarajućih \left( k-1 \right)–ćelija baza. Stoga vrijedi Indukcijom se lako pokaže da je onda Tvrdnja teorema 34 istinita je i za \gamma_{n}. To nas ne čudi, budući da je to jednostavno povezan politop: Tabelirajmo dosadašnje rezultate: