Ključni pojmovi: funkcija razdiobe vjerojatnosti, normalna slučajna varijabla, standardizacija

U nastavi vjerojatnosti i statistike na našim veleučilištima i samostalnim visokim školama neki od najčešćih ishoda učenja su upoznati studente s normalnom razdiobom, te izračunati vjerojatnosti događaja u slučajnim pokusima modeliranima normalnom razdiobom. Ti se ishodi metodički ostvaruju uglavnom tako da se najprije definiraju neprekidna (kontinuirana) slučajna varijabla i njezini osnovni parametri, a potom definira normalna slučajna varijabla kao poseban slučaj neprekidne slučajne varijable. Međutim, prilikom obrade neprekidne slučajne varijable često se izostavlja malo detaljnija obrada sljedećega problema.

Napominjemo da se analogon problema 1. za diskretne slučajne varijable uglavnom detaljnije obrađuje. Pritom se umjesto funkcije gustoće vjerojatnosti razmatra funkcija razdiobe vjerojatnosti. Slažemo se da je taj analogon doista bitno jednostavniji za razumijevanje i primjenu od problema  1. Međutim, smatramo da je potrebno iskazati i riješiti problem  1. u slučaju kad je g polinom 1. stupnja. Naime, upravo se taj slučaj kasnije pojavljuje prilikom definiranja postupka standardizacije normalne slučajne varijable, pa, bez rješenja problema  1., ostaje ili u cijelosti neiskazano ili nedorečeno što zapravo znači spomenuta standardizacija.

Radi potpunosti izlaganja, u nastavku navodimo osnovne pojmove koje ćemo kasnije efektivno koristiti. Iskazane definicije su donekle “prilagođene” studentima stručnih studija i njihovoj razini matematičkoga predznanja potrebnoga za praćenje nastave vjerojatnosti i statistike.

Iz definicije 4. je razvidno da ona predstavlja poseban slučaj problema 1. u slučaju kad je g strogo monotona derivabilna bijekcija. Budući da je svaki polinom 1. stupnja strogo monotona derivabilna bijekcija sa skupa \mathbb{R} na samoga sebe, definicija 4. je sasvim dovoljna za potrebe razmatranja standardizacije normalne slučajne varijable.

Komentar: Kakvo predznanje studenti trebaju imati da bi razumjeli definicije 3. i  4.? Definiciju 3. studenti će razumjeti ako su prethodno odslušali (a poželjno i položili) matematički kolegij u kojemu se obrađuju osnove integralnoga računa (uključujući i neprave integrale). Definiciju 4. studenti će razumjeti ako su prethodno odslušali (a poželjno i položili) matematički kolegij u kojemu se obrađuju osnove diferencijalnoga računa. Na stručnim studijima Tehničkoga veleučilišta u Zagrebu takvi matematički kolegiji predaju se na prvoj godini preddiplomskih studija, dok se osnovni kolegij iz vjerojatnosti i statistike predaje ili na drugoj godini preddiplomskih studija ili na prvoj godini specijalističkoga studija. Dakle, u trenutku kad se obrađuju neprekidne slučajne varijable, studenti Tehničkoga veleučilišta u Zagrebu su na stručnom studiju stekli matematičko predznanje potrebno za razumijevanje ove nastavne cjeline. Unatoč tome, autori prilikom iskazivanja gornjih definicija ukratko ponove Newton-Leibnizovu formulu, definiciju nepravoga integrala oblika \displaystyle{\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \cdot\text{d} x } i potrebne osnovne pojmove o funkcijama (bijektivnost, stroga monotonost, derivabilnost) jer su svjesni da ih je znatan dio studenata jednostavno zaboravio.

Napominjemo da se u nastavi najčešće izostavlja dokaz da je funkcija f_{X} uistinu funkcija gustoće neke neprekidne slučajne varijable jer provjera svojstva 3. iz definicije 3. zahtijeva poznavanje određivanja nepravoga integrala prijelazom na polarne koordinate. Studenti stručnih studija većinom nisu upoznati s takvim načinom određivanja nepravoga integrala jer to gradivo nije obuhvaćeno matematičkim kolegijima koji prethode osnovnom kolegiju iz vjerojatnosti i statistike, pa se zbog toga provodi navedeno izostavljanje.

Dokaze ovdje izostavljamo, a zainteresiranoga čitatelja upućujemo na [1]-[3].

Razmatranje iskaza i dokaza teorema iz naslova ove cjeline započinjemo rješavanjem sljedećega problema.

Rješenje: Primijetimo najprije da je funkcija g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} definirana pravilom g(x) = a\cdot x + b strogo monotona bijekcija. Naime, riječ je o polinomu 1. stupnja koji je strogo rastuća bijekcija ako i samo ako je a \gt 0 , a strogo padajuća bijekcija ako i samo ako je a \lt 0. Njezin inverz je bijekcija g^{-1}:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} definirana pravilom

dok je njezina prva derivacija

Koristeći 1 izravno dobivamo da je tražena funkcija gustoće f_{Y}:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} dana pravilom:

Komentar: Najčešći problemi koji se pojavljuju prilikom rješavanja problema 10. su značenje pretpostavke a\neq 0 i određivanje inverza polinoma 1. stupnja. Većina studenata smatra da se pretpostavka a\neq 0 uvodi samo zbog definiranosti razlomaka \displaystyle{\frac{1}{a}} i \displaystyle{\frac{1}{\left|a\right|}} u pravilu 10, a ne zbog ispravne primjene definicije 4. Zbog toga obično pitamo studente kakva se funkcija dobiva za a = 0 , je li ta funkcija bijekcija i – naposljetku – možemo li u tom slučaju korektno primijeniti definiciju 4. Dio studenata je zaboravio postupak određivanja pravila inverza bijekcije, pa zbog njih izvodimo pravilo funkcije g^{-1}.

Sada možemo iskazati i dokazati najavljeni teorem.

Potpuno analogno kao i teorem 11. dokazuje se malo općenitiji teorem.

Komentar: Od iskaza teorema 11. studenti u pravilu zapamte samo 12 jer tu jednakost “praktično” primjenjuju u rješavanju zadataka. Zbog toga je potrebno posebno naglasiti i komentirati sljedeće važne posljedice teorema 11. i  12.

“Dokaz” dijela teorema 12. Neka su X~\sim N\left(\mu,\sigma^{2} \right) i Y slučajna varijabla definirana s 11. Koristeći napomenu 9. i relacije 7 iz napomene 8 imamo:

Dakle, Y\sim N \left(a\cdot \mu+b, a^{2}\cdot \sigma^{2}\right).“

Većina studenata ne zna objasniti zašto gornji “dokaz” ne predstavlja valjan dokaz teorema 12. (odnosno, za \left(a, b\right)=\left(\frac{1}{\sigma}, -\frac{\mu}{\sigma}\right) dokaz teorema 11.) Oni ne uočavaju da gornji “dokaz” zapravo dokazuje (samo) da je Y neka (ne nužno normalna) slučajna varijabla koja ima očekivanje a\cdot \mu+b i standardnu devijaciju \left|a\right|\cdot \sigma. Ni iz jednoga njegovoga dijela ne slijedi da je Y normalna slučajna varijabla. I ovaj primjer pokazuje koliko je važno u cijelosti razumjeti što sve izriče neka matematička tvrdnja koju je potom potrebno dokazati.

Komentirajmo ukratko relativno čestu tvrdnju da dokaz teorema 11. “izlazi iz okvira gradiva predmeta” (pa se zato i ne navodi). Tu tvrdnju smatramo potpuno valjanom ako studenti prethodno nisu odslušali barem jedan matematički kolegij koji obuhvaća osnove diferencijalnoga i integralnoga računa. Međutim, ako su studenti prethodno odslušali spomenuti kolegij, onda tvrdnju smatramo potpuno neopravdanom. Na temelju vlastitih višegodišnjih nastavnih iskustava tvrdimo da je taj dokaz jedan od tipičnih primjera povezivanja srednjoškolske algebre, matematičke analize i osnovnih pojmova teorije vjerojatnosti. Upravo u spomenutom povezivanju, ali i nedovoljnu znanju i razumijevanju tih pojmova leže osnovni problemi koje studenti imaju s razumijevanjem iskaza i dokaza teorema 11.

“Praktična” primjena teorema 11., odnosno jednakosti 12, odnosi se na rješavanje zadataka u kojima se traži određivanje vjerojatnosti P\left(X\leq x\right) za neki “konkretan” x\in\mathbb{R}. Nastava iz vjerojatnosti i statistike najčešće se sastoji od predavanja i auditornih vježbi, pa u rješavanju takvih zadataka tehnički nije moguće koristiti računala. Zbog toga se studentima, kao nastavni materijal, daju tablice vrijednosti funkcije razdiobe vjerojatnosti standardne normalne slučajne varijable, pa se u rješavanju zadataka koriste te tablice i 12. Ovakva praksa (“svođenje bilo koje normalne slučajne varijable na standardnu”) nužna pri izvedbi nastave u “klasičnom” (“kreda – ploča”) obliku nerijetko uzrokuje potpuno pogrešnu percepciju studenata da je efektivno značajna samo standardna normalna slučajna varijabla, odnosno da bez provedenoga postupka standardizacije u praksi nije moguće odrediti nijednu vrijednost funkcije razdiobe vjerojatnosti proizvoljne normalne slučajne varijable. Zbog toga je metodički opravdano izložiti i na barem dva različita načina riješiti pogodno odabrani primjer koji će pokazati da – u slučajevima kad na raspolaganju imamo računalni program s ugrađenim statističkim funkcijama – nije potrebno standardizirati normalnu slučajnu varijablu.

U nastavku navodimo upravo takav primjer. Riješit ćemo ga “klasično“ (primjenom 12.), te koristeći računalne programe MS Excel, MATLAB i Maximu. Osnove rada u MS Excelu studentima Tehničkoga veleučilišta u Zagrebu poznate su još iz srednjoškolskoga obrazovanja, ali se one obrađuju i u jednom od uvodnih informatičkih kolegija na preddiplomskim stručnim studijima (npr. “Primjena osobnih računala u elektrotehnici” , “Računarstvo u graditeljstvu” i dr.). Osnove rada u MATLAB-u obrađuju se u kolegijima “Računarstvo u graditeljstvu”, “Matematički alati u elektrotehnici”, “Matematički alati u informatici” i “MATLAB”. Osnove rada u Maximi studenti stručnoga studija graditeljstva slušaju u okviru kolegija “Računarstvo u graditeljstvu”.

Komentar: Iz rješenja (2)., (3). i (4). razvidno je da ni u jednom od njih nismo provodili standardizaciju zadane normalne slučajne varijable. Studenti uobičajeno smatraju da je ta standardizacija implementirana u računalnom programu. Međutim, to nije točno. Naime, funkcije 2 i 3 nisu elementarno integrabilne, pa za računanje određenih i nepravih integrala računala koriste neku od metoda numeričke matematike namijenjenih približnom određivanju određenoga integrala. (Detalje ovdje izostavljamo, a mogu se naći u [8].) Svaka od tih metoda kao “ulazne varijable” koristi podintegralnu funkciju, donju i gornju granicu područja integracije. Zbog toga je računalnom programu potpuno svejedno hoće li vrijediti jednakost \left(\mu, \sigma\right) = (0,1) ili će vrijednosti \mu i \sigma biti neki drugi realni brojevi (dakako, uz nužan uvjet \sigma \gt 0). Drugim riječima, računalni program će – koristeći implementirane algoritme za približno određivanje određenih i nepravih integrala – približno odrediti određeni ili nepravi integral u kojemu je 2 podintegralna funkcija i pritom neće provoditi standardizaciju.

U nastavi vjerojatnosti i statistike na našim veleučilištima i samostalnim visokim školama iskazuju se i neki teoremi (npr. granični teoremi u Bernoullijevoj shemi) čiji dokazi izlaze iz postavljenoga okvira kolegija i zahtijevaju više matematičkoga predznanja studenata. U takve teoreme često se ubraja i teorem o standardizaciji normalne slučajne varijable.

Izostavljanje njegova dokaza smatramo smislenim jedino u slučaju kada studenti nisu odslušali osnovne matematičke kolegije iz diferencijalnoga i integralnoga računa. Međutim, ako su studenti prethodno odslušali te kolegije, onda smatramo da taj teorem treba iskazati, dokazati i komentirati njegov praktični značaj. Smatramo da svakako treba istaknuti da je teorem značajan samo u slučajevima u kojima vrijednosti funkcije razdiobe vjerojatnosti bilo koje normalne slučajne varijable određujemo korištenjem tablica vrijednosti funkcije razdiobe vjerojatnosti standardne normalne slučajne varijable (bez korištenja računalnih programa s ugrađenim statističkim funkcijama). Štoviše, studenti trebaju usvojiti da računalni programi s ugrađenim statističkim funkcijama ispravno određuju vrijednosti funkcije razdiobe vjerojatnosti (i funkcije gustoće) proizvoljne normalne slučajne varijable. Time se ujedno i uklanja pogrešna predodžba studenata o standardnoj normalnoj slučajnoj varijabli kao jedinoj „praktično važnoj“ normalnoj slučajnoj varijabli.