Kao u prethodna dva članka nastavljamo s vizualnim i kratkim dokazima. Ovaj članak, kao i prethodna dva, posvećujemo našim dragim prijateljima, učiteljima i profesorima Borisu Pavkoviću (1931.-2006.) i akademiku Sibi Mardešiću (1927.-2016.). Kao njihovi studenti, koautori i kolege znamo da su obojica voljela i cijenila kratke, elegantne i jednostavne dokaze.

Nema jednakostraničnog trokuta u vrhovima iz šahovske ploče (točnije u vrhovima \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}=\mathbb{Z}^{2}).

Iz slike 1a nije jasno zašto nema jednakostraničnog trokuta u čvorovima mreže \mathbb{Z}^{2}, ali ako pogledamo sliku 1a vidimo da je tangens kuta trokuta kod vrha O=A jednak \operatorname{tg} A=\frac{q}{p}, dakle racionalan broj. Nije sasvim jednostavno, ali se može pokazati da vrijedi sljedeći nužan i dovoljan uvjet za postojanje trokuta u cjelobrojnoj mreži. Postoji trokut s vrhovima u \mathbb{Z}^{2} ako i samo su tangensi svih kutova racionalni brojevi. Kako je tangens jednakostraničnog trokuta iracionalan, (\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}) slijedi negativan odgovor na upit u naslovu.
Zanimljivo postoji jednakostraničan trokut (s vrhovima) u kubičnoj cjelobrojnoj rešetki \mathbb{Z}^{3}. Recimo, trokut (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) je takav. Zato postoji jednakostraničan trokut u \mathbb{Z}^{3} \subset \mathbb{Z}^{4} \subset \mathbb{Z}^{5} \subset \cdots. Slično se vidi da ne postoji pravilni tetraedar u \mathbb{Z}^{3}, ali postoji u \mathbb{Z}^{4} \subset \mathbb{Z}^{5} \subset \cdots. U \mathbb{Z}^{4} je to npr. (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1). I slično u drugim dimenzijama.
Vratimo se još na sliku 1b i trokut \triangle ABC. Kut kod B također ima racionalni tangens, jer je

Zbog A+B+C=\pi slijedi

pa zbog adicijske formule za tangens slijedi da je i

U geometriji rešetaka (zanimljivi su i u fizici) ima još niz otvorenih problema.

Jedna od središnjih tema u kombinatorici jest ponavljanje istih postupaka odnosno rekurzivni pozivi tj. rekurzija. Rekurzija kaže kako se unaprijed zadana shema ponavlja na isti način sve u beskraj. Slikovito rečeno to je apstraktni pogon za vrtnju kotača koji uzrokuje napredovanje uz ponavljanje istog postupka (vrtnje) ili zumiranje (što daje fraktale itd.). Suhoparna i izlizana fraza kaže da je rekurzija formula kojom se član niza izražava pomoću prethodnih članova niza. Jedna od najjednostavnijih i najpoznatijih rekurzija je ona koja definira Fibonaccijeve brojeve. O njima postoje brojne knjige, članci, časopisi, internetske stranice itd., a na hrvatskom knjige [11] i [17].
Ukratko, za one koji još ne znaju, Fibonaccijev niz je definiran s F_{0} = 0, F_{1} = 1 te F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}. Dakle, niz počinje s 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597, 2584,\cdots. Omjerima susjednih članova \frac{F_{n+1}}{F_{n}} često možemo protumačiti neke pojave u prirodi a limes

se naziva \textit{zlatni omjer (ili zlatni rez)}. On se dobije iz osnovne rekurzije dijeljenjem s F_{n}:

odakle prelaskom na limes slijedi \varphi=1+\frac{1}{\varphi} tj. \varphi^{2}=\varphi +1. Jedna od formula je

a kombinatornih značenja je mnoštvo; primjerice nizova 0 i 1 duljine n ali bez susjednih nula ima F_{n+2}. To je važno npr. u računarstvu.
F_{n+1} je broj načina da se n napiše kao uređeni zbroj brojeva 1 i 2. Ne zna se ima li beskonačno prostih Fibonaccijevih brojeva.

Slika 4: Pođemo od jednakostraničnog \triangle ABC i polovišta P, Q, R. Produžimo \overline{PQ} do \overline{XY}. Tada je \frac{|PQ|}{|QY|}=\varphi; tj. stranica PQ većeg trokuta prema manjem je zlatni omjer.

Slika 5: Najjednostavnija konstrukcija zlatnog reza. Na osi y unesemo točku A, |OA|=1. P je polovište \overline{OA}. |PM|=1, M na osi x. Q je polovište \overline{PM}. |QN|=1, N na osi x. M dijeli \overline{ON} u zlatnom rezu.

Giacomo Candido (1871- 1941) je dokazao identitet (objavljen tek 1951. godine):

Riječima: kvadrat sume kvadrata tri uzastopna Fibonaccijeva broja je dvostruka suma njihovih četvrtih potencija. Iz osnovne rekurzije

slijedi da je trokut čije su duljine stranica ti brojevi degeneriran pa mu je površina 0. Razlika lijeve i desne strane u (1) je prema Heronovoj formuli jednaka nuli. To dokazuje Candidov identitet (1).
Primijetite da iz istih razloga možemo poći od bilo koja dva realna broja a i b i njihovog zbroja a+b i dokazati Candidov identitet (koji vrijedi i u svakom komutativnom prstenu):

Ako Candidov identitet primijenimo na Pitagorin poučak a^{2}+b^{2}=c^{2}, dobivamo:

ili kratko

gdje je p_{n} suma n-tih potencija. Riječima: kvadrat sume četvrtih potencija je dvostruka suma osmih potencija. To je nužan i dovoljan uvjet da je trokut pravokutan.
\underline{\textit{Pascalova formula}} za binomne koeficijente:

Iz Candidovog identiteta dobivamo ”zabadava” potpuno simetričan Pascal :

Još jedan primjer iz kombinatorike je \textit{Padovanov niz}P_{n}:

u kojemu je svaki član (osim prva tri) zbroj drugog i trećeg prethodnog člana; dakle

Iz istih razloga kao kod Fibonaccijevih brojeva i Padovanovi brojevi zadovoljavaju identitet Candidovog tipa.

gdje je p^{3}=p+1. Broj p naziva se \textit{plastični broj}, p\approx 1.3247\ldots , P_{n} je broj načina da se n+2 napiše kao uređeni zbroj od brojeva 2 i 3.
Varijanta Candidovog identiteta također se dobiva iz Heronove formule

gdje su e_{1}=a+b+c, e_{2}=ab+bc+ca, e_{3}=abc elementarne simetrične funkcije od a, b, c. Dakle, ako je trokut degeneriran, recimo c=a+b, onda je površina S=0, pa je

tj. stavimo li e_{1}=2s, u terminima poluopsega s imamo

Uočite da za svaki trokut (običan ili degeneriran) vrijedi

tj.

Dakle,

To je \textit{kubni Candidov identitet}.
Metoda ”volumen-nula” je izvor za raznovrsne geometrijske identitete i formule.

Slika 6: Jednakostraničan trokut \triangle ABC i u njemu točka D

Primjerice, ako je \triangle ABC na slici 6 jednakostraničan, a D točka \triangle ABC onda dobivamo simetrični identitet nalik Candidovom (uzmimo na slici 8 da je U=V=W=a, u=b, v=c, w=d):

Najmanje netrivijalno cjelobrojno rješenje je (3,5,7,8), a još jedno je (57,65,73,112). Opći identitet tog tipa mogli bismo zvati ”3D-Candidov identitet”. O brojevno-teorijskim posljedicama Candidovih identiteta i sličnih problema više u [18].
Trokut s cjelobrojnim duljinama stranica (a,b,c) i cjelobrojnim površinama P naziva se \textit{Heronov trokut}; npr.”egipatski” (3,4,5) pa i svi Pitagorini (vidjeti [2]) jer su oni višekratnici od (m^{2}-n^{2},2mn,m^{2}+n^{2}). Heronov je trokut površine nula i (F_{n-1}, F_{n}, F_{n+1}). Pravi primjeri su i (5,5,6), (5,29,30), (4,13,15), (13,14,15), (5220,900,5400) itd. S Heronovim su se trokutima bavili Brahmagupta u 9. st. i Euler i mnogi drugi (a bila je to i omiljena tema prof. dr. sc. Borisa Pavkovića o čemu smo svojedobno pisali). Napominjemo da s Heronovim trokutima ima još mnogo otvorenih pitanja iz teorije brojeva. A još je složenija priča s \textit{Heronovim tetraedrima} i \textit{Heronovim simpleksima}. Od interesa su ne samo u geometriji i teoriji brojeva, nego i u fizici, kemiji i informatici. Npr. Heronov tetraedar je (vidjeti sliku 8):

Površine svih strana i volumen su mu cijeli brojevi. Nedavno 2014. godine dokazano je da Heronov tetraedar uvijek možemo smjestiti u 3D prostor \mathbb{R}^{3} tako da su mu vrhovi u cjelobrojnoj rešetki \mathbb{Z}^{3}.

Poznatu Fermatovu1 tvrdnju, poznatu kao ”Fermat' s last theorem” (FLT) iz 1637. godine da jednadžba

nema rješenja za prirodne brojeve a, b, c i n\geq 3, dokazana je tek 1995. godine. Dokaz je dao A. Wiles i za to dobio Abelovu nagradu 2016. godine (v. [27]). Taj je dokaz vrlo zamršen i rabi suvremene alate iz teorije eliptičkih krivulja, algebarske geometrije i drugih područja.
Pogledajmo za početak slučaj n=3 tj.

FLT je dovoljno dokazati za neparne proste brojeve n=p i n=4. Dokaz za n=4 je jedini slučaj (kao i za tzv. proste brojeve Shopie Germain) za koje je odavno poznat relativno jednostavan elementarni dokaz [2]. Jedna primjedba kaže i da nema ”elementarnog dokaza” FLT, jer kad bi postojao, onda bi rabeći samo operacije zbrajanja i množenja to vrijedilo i u komutativnom prstenu tzv. p-adskih brojeva, a tamo je poznato da Fermatova jednadžba ima rješenja za svaki n. No, pokažimo barem u kratkim crtama da Fermatova jednadžba za polinome s potencijama n\geq 3 nema (netrivijalnih) rješenja. To je prvi dokazao J. Liuoville oko 1880. godine, ali suvremeniji dokaz je posve drugačiji. Prvo je tu lema Masona iz 1984. godine, a kaže sljedeće: neka su a=a(x), b=b(x) i c= c(x) relativno prosti polinomi s cijelim koeficijentima za koje je a+b=c i koji nisu svi konstante. Tada su stupnjevi deg \ a, deg\ b, deg \ c\lt n_{0}(abc). Pritom za polinom

broj n_{0}(f)=k=deg \ rad(f), gdje je rad (f)=(x-x_{1})\cdots(x-x_{k}). tj. n_{0}(f) je broj različitih korijena (nultočaka) od f. Nadalje, n_{0}(const)=0 ako je const\ne 0, te n_{0}(0)=-\infty=deg (0). Ako f nema višestrukih korijena onda je n_{0}(f)=deg \ f, a inače n_{0}(f)\lt deg \ f. Višestruke derivacije detektiraju višestruke korijene polinoma, pa se gledaju derivacije a'+b'=c'. Da se dokaže ključna nejednakost

u suprotnom bi se dobile kontradikcija tipa ”1\geq 2” ili ”-\infty\geq 0”. Nećemo ulaziti u pojedinosti, ali dokaz nije težak (pokušajte indukcijom po m=deg \ a + \deg \ b \geq 3). Očito da jednadžba

ima rješenja za n=1 i n=2, gdje su f, g, h relativno prosti polinomi.
Pretpostavimo da su f, g i h relativno prosti polinomi nad \mathbb{Z} i bar jedan od njih ne konstantan, tako da je

Tada je n\leq 2. Doista, prema Masonovoj lemi, stupnjevi od f^{n}, g^{n} i h^{n} su najviše

a taj je broj \geq 0. Zbrojimo li tri nejednakosti dobivamo da je

Ovo povlači n\leq 2.
Vrijedi i općenitije. Diofantska polinomska jednadžba

za 2\leq k \leq l \leq m može imati rješenja samo za (k,l, m)=(2,2,m), (2,3,3), (2,3,4) i (2,3,5).
Dokaz nije težak i slijedi iz Masonove leme. Prepuštamo ga čitatelju.

Ono što je trokut u ravnini, to je tetraedar u prostoru. Neka je T=ABCD tetraedar s bazom \triangle ABC i pripadnim stranicama (bridovima) a, b, c i nasuprotnim bridovima a', b' i c' (a' nasuprot a itd.) iz vrha D. Neka su nadalje \hat{a}, \hat{b}, \cdots, \widehat{c^{\backprime}} diedralni kutovi od T, tj. \hat{a} =\widehat{BC}=kut među ravninama BCA i BCD itd. Nadalje, neka je \hat{ab} plošni kut između a i b, tj. \hat{ab}= \angle BCA itd. (vidjeti sliku 7). U geometriji trokuta znamo ako nam je dana baza i dva kuta uz bazu kako izračunati ostale stranice (sinusov i kosinusov poučak). Kako postupiti u analognoj situaciji u tetraedru? Neka nam je zadana baza \triangle ABC od T i diedralni kutovi \hat{a}, \hat{b}, \hat{c} na tu bazu. Izračunajmo c', vidjeti sliku 7 (pretpostavimo da su svi vrhovi različiti).
\underline{\text{Poprečni brid tetraedra pomoću baze i kutova na bazu - ''cot zakon''.}}

pri tom je

Slika 7: Tetraedar ABCD

Neka je V= vol (T) i (ABC)=površina(\triangle ABC), h_{a} visina iz D na \overline{BC} itd., a h visina iz D na ABC. Tada je h_{a}\sin (\hat{a})=h=\frac{3V}{(ABC)}. Iz

slijedi

Odnosno sama tvrdnja. Detalje prepuštamo čitatelju, a ima i drugih izvoda [28]. Ova formula je analogon K-S-K (kut-stranica-kut) pravila, odnosno poučka za trokut.\underline{\text{Diedralni kut pomoću ravninskih kutova (ili pomoću bridova).}} Izračunajmo diedralni kut \widehat{c^{\backprime}} pomoću ravninskih kutova \alpha, \beta, \gamma kod vrha D kao na slici 7.

\underline{\text{Dokaz.}}
Promatramo jediničnu sferu oko D i i primijenimo sferni kosinusov poučak [2]. Ako želimo sve izraziti pomoću bridova, upotrijebimo obične kosinusove zakone.
\underline{\text{Kosinusov poučak za tetraedar (S-K-S pravilo).}}
Neka su zadani a, b, c, a', b' i diedralni kut \hat{c} nasuprot brida c\ '. Riječima, zadano je pet bridova i diedralni kut nasuprot nedostajećem bridu. Tada je nedostajeći brid tetraedra dan s:

gdje je \alpha=\angle BAC, {\alpha }' = \angle DAB (tj. \alpha=\hat{bc}, {\alpha } '=\hat{{a} ' c}) i vrijedi

\underline{\text{Dokaz.}}
Neka su h_{C}=|C{C}'| i h_{D}=|D{D} '| visine iz C i D redom do |AB|. Neka je {C}'' četvrti vrh pravokutnika određenog s D\ 'C\ 'C. Tada je

Uočimo

Iz kosinusovog poučka u \triangle D{D} '{C} '' za stranicu D{C} '' nasuprot kuta \angle D{D} '{C} '' (=\hat{c}, diedralni kut kod c=\overline{AB}) imamo

Iz ovih dviju formula slijedi tvrdnja. \underline{\text{Volumen tetraedra pomoću bridova.}}
Heronova formula (iz prvog stoljeća, a navodno već poznata Arhimedu 300 godina ranije) računa površinu trokuta pomoću stranica. Piero della Francesca2 je u 15. stoljeću poznavao formulu za volumen (obujam) tetraedra pomoću bridova. Ta formula s dokazom se može pronaći u [2]. No mnoge činjenice iz geometrije pronaći ćete također u [26].
Cayley-Mengerova formula računa volumen n-dimenzionalnog simpleksa vol^{2}(\Delta^{n}). Formula glasi

gdje je blok matrica

pri čemu je e stupac od n+1 jedinica, e^{T} transponirana od e, a M=\left[ (a_{ij})^{2} \right], i,j=1,2,3,\cdots, n+1. Pri tome je \Delta^{n}=A_{0}A_{1}\cdots A_{n}n-simpleks, a_{ij}=d(A_{i},A_{j}) duljina brida \overline{A_{i}A_{j}} simpleksa. Dokaz možete naći u[15].
Ako je R radijus opisane kugle tetraedra T, onda je (slika 8)

Eulerova formula (iz 1752. godine) za volumen tetraedra sa slike 8:

Slika 8: Tetraedar T

Zna se da je taj polinom ireducibilan (kao i u dimenzijama \geq 3) pa se ne može očekivati neka formula u vidu produkta kao kod Herona.
Međutim, Kahaneova formula (1985. godina) za volumen tetraedra glasi:

S-tetraedar je tetraedar kojemu su strane sukladni trokuti. Tetraedar T sa slike 8 je S-tetraedar \Longleftrightarrowu=U, v=V, w=W (nasuprotni bridovi jednaki) \Longleftrightarrow sve strane imaju jednake površine \Longleftrightarrow opsezi svih strana jednaki \Longleftrightarrow težište i središte opisane kugle se podudaraju \Longleftrightarrow težište i središte upisane kugle se podudaraju \Longleftrightarrow nasuprotni bridovi imaju jednake diedralne kutove itd.
Evo još malo tema iz geometrije tetraedra (bez dokaza). Prvo postoji sfera koja dodiruje sve bridove tetraedra (T) na slici 8 ako i samo ako su zbrojevi duljina nasuprotnih duljina jednaki (u+U=v+V=w+W na slici 8).
Geometrija simpleksa (trokuti, tetraedri, n-dimenzionalni analogoni) je dakako još složenija (vidjeti [15]) i mnoga pitanja su još nerazjašnjena iako geometrijski dosta jasna. Tako se primjerice niti danas ne zna općenito je li simpleks određen s duljinama nekih bridova (barem jednog) i diedralnim kutovima nasuprot bridova koji ne dostaju ili npr. tek je 2000. godine dokazano da ako n-simpleks za n\geq 4 ima jednake površine svih 2-strana (trokuta) onda je simpleks pravilan. Godine 2014. dokazano je da za n\geq 4 kvadrat volumena n-simpleksa zadovoljava (netrivijalnu) polinomsku relaciju čiji koeficijenti ovise o kvadratima površina njegovih 2-strana (za n=4, min stupanj 32). Zanimljiva je (odavno poznata) formula za volumen n-simpleksa pomoću niže dimenzionalnih volumena njihovih strana i jednog diedralnog kuta

gdje je V_{n} volumen n-simpleksa, V_{n-2}^{(ij)} je volumen strane bez dva vrha i, j, V_{n-1}^{(i)} volumen strane bez vrha i (slično V_{n-1}^{(j)}), a \varphi_{ij} diedralni kut uz brid ij.
Iako je volumen simpleksa teško egzaktno izračunati, postoje oštre nejednakosti. Jedna od njih je

s jednakošću samo za pravilni simpleks. Volumen pravilnog tetraedra tj. pravilne trostrane piramide brida a je V = \frac{\sqrt{2}}{12} a^{3}, dakle oko 11.8\ \% volumena kocke brida a.

Nakon ove kraće šetnje kroz odabrane matematičke teme, kažimo da je matematika - ”kraljica znanosti” (kako ju je zvao Gauss, a njega su zvali ”princ od matematike ”), danas vrlo ”živa i zdrava” i primjenjiva sve više i više. Brojne su i nagrade za doprinose novim spoznajama, a najprestižnija je već spomenuta \textit{Abelova nagrada} koja se dodjeljuje od 2002. godine. Ona je jednako vrijedna Nobelovoj nagradi u drugim znanostima i umjetnosti. O Abelovoj nagradi više u [16], [19] i [20] te [27] . Vrlo je prestižna i \textit{Fieldsova medalja} koja se dodjeljuje svake četvrte godine prilikom međunarodnih matematičkih kongresa, a dobitnici moraju biti mlađi od 40 godina. Prvi je put dodijeljena 1932. godine.
I hrvatska matematika je živahna što pokazuje i 6. Kongres hrvatskih matematičara, Zagreb, 14.-16. lipnja 2016. Ali hrvatska matematika je bila živahna i u davna doba, što pokazuje i bogati riječnik koji su rabili ”naši stari”. U to se možemo uvjeriti i uvidom u potrazi za nazivima, primjerice u rječniku latinsko-horvatskom iz 1835. godine jezikoslovca Ivana Belostenca. Predloženo je u to doba da se riječ matematika (koja dolazi od starogrčke riječi mathema - saznanje, dakle naprosto znanost) prevede kao oloslovlje prema staroj riječi olina - količina, veličina. Kasniji prijedlog je bio velkoumjenje. No, oba su prijedloga očito propala. Triangolo je preveo kao trojvugel, parni i neparni brojevi su tahi i lihi, kvadrat je četvorina itd. Neki od starijih hrvatskih naziva su još: parabola-hitnica, elipsa-pakružnica, hiperbola-kosatica, eksponent-izložitelj, logaritam-omjerobroj, tetraedar-četverostran, permutacija-premjestica itd. Mnogi su od tih naziva već uključeni u knjigu \textit{Aritmetika Horvatzcka} iz 1758. godine. A neke je od tih pojmova na prijelazu 19. u 20. st. rabio i hrvatski matematičar Vladimir Varićak (1865.-1942.), v. [21], koji je među prvima uočio kako se Einsteinove formule iz teorije relativnosti mogu tumačiti i zapisati u terminima hiperboličke geometrije. S Einsteinom je razmijenio desetke pisama.
I naš dragi prijatelj i koautor Boris Pavković je bio ”sladokusac” starohrvatskih matematičkih naziva. O tome i njegovim postignućima i šarmantnim i duhovitim dosjetkama - drugom prilikom.
Spomenimo i preporučimo na kraju knjigu na hrvatskom jeziku o popularnoj i svagdašnjoj matematici [22] te jednu suvremenu knjigu o ”trojveugelima” [23].
Na kraju navodimo i nedavno izašli pregledni i povijesni prekrasan članak [24] Johna Milnora, dobitnika Abelove nagrade 2011. godine i Fieldsove medalje 1962. godine ([16]). Milnorove smo radove i knjige iz topologije čitali , proučavali i učili iz njih mnogi od nas: Mardešić, Pavković i drugi.
I na samom koncu, svaki naš diplomirani matematičar morao bi pročitati prekrasnu i nadasve zanimljivu knjigu akademika Sibe Mardešića [25]. Iz nje ćete naučiti ne samo o njegovoj matematici, nego i o umjetnosti, mudrostima, prirodnim i društvenim fenomenima i mnogo čemu ostalome.