geogebra

Izracunavanje i primjena normalne slučajne varijable u kemiji

Branka Gotovac,^{1} Sanja Tipurić-Spužević,^{2} Danijela Marić (student)^{3},


Leonardo Pavlović (student)^{4}

^{1}Kemijsko-tehnološki fakultet, Sveučilište u Splitu, [email protected] , 
^{2}Kemijsko-tehnološki fakultet, Sveučilište u Splitu, [email protected] ,
^{3}Kemijsko-tehnološki fakultet, Sveučilište u Splitu, [email protected] ,
^{4}Kemijsko-tehnološki fakultet, Sveučilište u Splitu, [email protected] 

 


 

Sažetak

U ovom radu je pokazana primjena normalne slučajne varijable u kemiji i izračun vjerojatnosti iste uporabom dostupnih programskih paketa GeoGebra i Symbolab, čime se računanje višestruko ubrzava i smanjuje se mogućnost pogreške.



1Uvod

Veliki broj pojava u prirodi, kao i mnogi proizvodni procesi, odvijaju se uz bitnu prisutnost raznih slučajnih varijabli. Također, pri analizi in ženjerskih procesa mnoge varijable i inženjerski procesi mogu biti definirani kao slučajne varijable, poglavito u kemiji. Slučajne varijable su funkcije koje imaju realne vrijednosti i koje predstavljaju preslikavanje iz prostora slučajnih vrijednosti S u prostor realnih brojeva \textbf{R}. Slučajne varijable mogu biti diskretne, kao broj sušnih i kišnih dana u nekom periodu, ili kontinuirane, kao što su protok, intenzitet ki še, koncentracija i slično.Diskretne slučajne varijable povezane su s prebrojavanjem u nekom pokusu. One primaju konačan skup vrijednosti (ili možda beskonačan, ali je tada nužno prebrojiv i diskretan). Međutim, u pokusima se prirodno javlja i mjerenje. Skup brojeva kojima se zapisuju rezultati mjerenja nije ni konačan niti diskretan, već neki interval u skupu realnih brojeva. Na primjer slučajna varijabla koja mjeri postotak neke tvari u nekoj smjesi teoretski može primiti svaku vrijednost intervalu [0,100], a slučajna varijabla koja mjeri relativni udio neke tvari u nekoj smjesi može primiti svaku vrijednost u intervalu [0,1]. Takve slučajne varijable, koje poprimaju vrijednosti na nekom intervalu, nazivamo kontinuiranim. Poznavanje niza mogućih vrijednosti slučajne varijable ne daje dovoljnu osnovu za praktički potrebne ocjene. Na primjer, ako treba ocijeniti temperaturu zadane količine plina, a u tu svrhu se nudi samo niz podataka o mogućim brzinama njegovih molekula, tada je naravno, prvo pitanje kako se često javlja svaka od tih brzina. Drugim riječima, treba, što je samo po sebi razumljivo, saznati kolika je vjerojatnost nastupanja svake od mnogih vrijednosti promatrane slučajne varijable. Isto tako, ako su poznate vjerojatnosti raznih mogućih vrijednosti slučajne varijable, znat će se i kako se često očekuje nastupanje njenih povoljnih i nepovoljnih vrijednosti, a to je očigledno dovoljno za ocjenu efikasnosti ili kvalitete kemijskog procesa.

Zbog toga, za slučajnu varijablu vežemo još i pojmove razdioba slučajne varijable, očekivanje slučajne varijable i varijanca. Sve su ovo pojmovi koji su vrlo korisni u inženjerskim procesima, ali s druge strane nekome tko nije primarno matematičar mogu biti teški za izračunati.

Cilj ovoga rada je pokazati primjena kontinuirane slučajne varijable u kemiji i izračun vjerojatnosti iste uporabom dostupnih programskih paketa, čime se računanja višestruko ubrzava i smanjuje se mogućnost pogreške. Za takve izračune se mogu koristiti besplatni programski paketi GeoGebra i Symbolab, koji su vrlo jednostavni za korištenje kad je slučajna varijabla u pitanju. Isto tako ova dva programska paketa omogućavaju provjeru podataka dobivenih izračunom, te detaljnu analizu i međusobnu usporedbu dobivenih rezultata.

Početni dio rada daje čvrstu teorijsku bazu o slučajnoj varijabli. Iskustvo pokazuje da korištenje programske podrške, bez čvrsto utemeljenog znanja statistike i vjerojatnosti, rezultira nekvalitetnim statističkim obradama. Stoga je rad usmjeren na teoriju, konkretnu primjenu i uporabu programskih paketa.



2Pojam kontinuirane slučajne varijable i njene razdiobe

Slučajna varijabla je numerički ishod slučajnog pokusa. Neka je S skup svih ishoda u nekom pokusu. Prema [2]  i [7] vrijedi sljedeće



Definicija 1. Slučajna varijabla X je kontinuirana ako skup njezinih vrijednosti č ini interval brojeva. Slučajnu varijablu ćemo označavati s velikim slovima. Za kontinuiranu slučajnu varijablu se računa vjerojatnost da poprimi vrijednosti u nekom intervalu.



Definicija 2. Funkcija gustoće vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable X je funkcija f(x) takva da za bilo koja dva broja x_{1} i~x_{2} vrijedi


\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx=P(x_{1}\leq X\leq x_{2}),

odnosno pomoću funkcije gustoće vjerojatnosti, zapravo računamo vjerojatnost da slučajna varijabla X poprimi vrijednost unutar intervala \left[ x_{1},x_{2}\right].


Vjerojatnost da X poprimi vrijednost unutra intervala \left[ x_{1},x_{2}\right] dana je površinom ispod funkcije gustoće vjerojatnosti nad segmentom \left[ x_{1},x_{2}\right].
Pri tom f(x) zadovoljava sljedeća svojstva:

 
[\bullet] f(x)\geq0, za sve realne x,
 
 
[\bullet] \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1


Dakle, svaka ovakva funkcija definira neku razdiobu vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable. Iako ima puno takvih funkcija f, nas u praksi zanima samo nekoliko takvih funkcija.



Primjer 3. Pokažimo da je funkcija definirana izrazom

f(x) = \left\lbrace \begin{array}{l@ {,}l} \cos x & x\in \langle 0, \frac{\pi}{2} ] \\ 0 & x \notin \langle 0, \frac{\pi}{2} ] \end{array} \right.


funkcija gustoće vjerojatnosti neke kontinuirane slučajne varijable X. Odrediti

P(\frac{\pi}{4}\lt X\leq\frac{\pi}{2}).


Iz definicije funkcije f očito je da se radi o nenegativnoj funkciji:

-
na intervalu \langle 0, \frac{\pi}{2} ] je f(x)=\cos x, a funkcija kosinus je na tom intervalu pozitivna
 
-
na \langle -\infty, 0 ] \cup \langle\frac{\pi}{2}\rangle je f(x)=0.


Pokažimo da je funkcija f normirana:


 

\int_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=\int_{-\infty }^{0}f(x)dx+\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx+\int_{\frac{\pi }{2}}^{+\infty }f(x)dx=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx=1

Budući je funkcija f nenegativna i normirana, zaključujemo da može poslužiti kao funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable.

Traženu vjerojatnost računamo na sljedeći način:


 

P(\frac{\pi }{4}\lt X\leq \frac{\pi }{2})=\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}f(x)dx=\int_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}\cos xdx=\left. \sin x\right\vert _{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{2}}=\sin (\frac{\pi }{2})-\sin (\frac{\pi }{4})=1-\frac{\sqrt{2}}{2}=0.293.

Vjerojatnost u prethodnom primjeru smo mogli izračunati, jer je pripadna funkcija gustoće f imala primitivnu funkciju, pa se računanje integrala svelo na oduzimanje dviju vrijednosti primitivne funkcije. Zaključujemo da bi nam bilo dobro uvijek znati primitivnu funkciju funkcije f, stoga definirajmo pojam funkcije distribucije.



Definicija 4. Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable X je funkcija F\colon\mathbb{R}\rightarrow [0,1] definirana formulom

F(x)\colon=P(X\leq x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)dt.

Vrijednost funkcije razdiobe u točki x jednaka je površini ispod krivulje funkcije gustoće do točke x.


Ako znamo F možemo izračunati vjerojatnost da slučajna varijabla pripada pojedinom intervalu. Vrijedi:


 

F(x_{2})-F(x_{1})=\int_{-\infty}^{x_{2}}f(x)dx-\int_{-\infty}^{x_{1}}f(x)dx=
=\int_{x_{1}}^{x_{2}}f(x)dx
\dots=P\lbrace x_{1}\leq X \leq x_{2}\rbrace


Definicija 5. Matematičko očekivanje ili srednja vrijednost kontinuirane slučajne varijable X je definirano kao

E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx,

ukoliko ovaj integral postoji. Očekivanje još označujemo sa \mu.



Definicija 6. Varijanca ili rasipanje kontinuirane slučajne varijable X je definirano kao

E(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^{2}f(x)dx,

ukoliko ovaj integral postoji. Varijancu još označujemo s \sigma^{2}.



Definicija 7. Standardna devijacija ili odstupanje \sigma neprekidne varijable X se definira kao korijen iz varijance tj.

\sigma=\sqrt{V(x)}.



3Normalna razdioba

To je najvažnija razdioba među svim kontinuiranim razdiobama, ali i među svim razdiobama općenito. To je posljedica spoznaje koja ima fundamentalno značenje u izučavanju slučajnih pojava odnosno fenomena u prirodi. Naime, većina se slučajnih pojava u prirodi odnosno u realnom svijetu koji nas okružuje asimptotski ponaša po normalnoj razdiobi. Tu razdiobu imaju i mnoge slučajne varijable koje nastaju u praksi, primjerice slučajna varijabla koja registrira grešku pri mjerenju, koja registrira rezultat mjerenja (npr. mase, visine, postotka, inteligencije, \dots), koja registrira rezultate pri dobro odmjerenom pismenom ispitu itd. Tako se na temelju teorije koja je razvijena za normalnu razdiobu dobivaju dobre prognoze o ponašanju te slučajne pojave u budućnosti. Prema [5] i [2] vrijede sljedeće definicije:



Definicija 8. Za kontinuiranu slučajnu varijablu X s pripadnom funkcijom gustoće

f(x))=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}, x\in\mathbb{R}

kažemo da ima normalnu ili Gaussovu razdiobu s parametrima \mu i \sigma^{2}.


Za normalnu razdiobu koristimo oznaku


 

X\thicksim N(\mu,\sigma^{2})

Graf funkcije gustoće vjerojatnosti za normalnu razdiobu naziva se normalna ili Gaussova krivulja (Slika 1.).

Slika 1: Slika 1.

Vidimo da je graf zvonolika krivulja, simetrična obzirom na \mu.

Graf se mijenja u ovisnosti o parametrima \mu i \sigma, gdje \mu određuje središte razdiobe, \sigma koliko su podaci raspršeni (Slika 2.).

Slika 2: Slika 2.

Parametar \mu normalne razdiobe jednak je njenom matematičkom očekivanju E(X), a parametar \sigma ^{2} jednak je njenoj varijanci V(X).

Funkcija razdiobe normalne varijable X\thicksim N(\mu ,\sigma ^{2}) je


 

F(x))=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2\sigma^{2}}}dt

Gornji integral se ne može izraziti preko elementarnih funkcija. Stoga se koriste tablice. Vrijednost gornjeg integrala ovisi o parametrima normalne razdiobe, te bi stoga za svaki par parametara trebala posebna tablica.

Međutim dovoljno je gledati samo jedan par parametara.

Uzmimo parametre \mu=0, \sigma=1. Njima je zadana jedinična normalna razdioba Z\thicksim N(0,1) s pripadnom funkcijom gustoće


 

\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{\frac{z^{2}}{2}}.

Primijetimo da se varijabla jedinične normalne razdiobe u pravilu označuje sa z. Funkcija gustoće jedinične normalne razdiobe je parna funkcija, te je njezin graf simetričan obzirom na os y.

Funkcija razdiobe slučajne varijable Z\thicksim N(0,1) se označava sa \Phi


 

\Phi=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{z}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt

i njene vrijednosti su dane u tablicama (prilog 1.). Zbog simetrije grafa funkcije gustoće imamo da je \Phi(0)=0.5.

što ako slučajna varijabla ima normalnu razdiobu različitu od standardne? Tu nam pomaže sljedeći teorem:



Teorem 9. Neka je Z\thicksim N(0,1) proizvoljna normalna varijabla. Tada Z\colon =\frac{X-\mu }{\sigma } ima jediničnu normalnu razdiobu.


Teorem 1. nam omogućava da računanje normalne razdiobe svedemo na računanje jedinične normalne razdiobe.

Pokažimo sada na primjeru primjenu kontinuirane slučajne varijable u kemiji.



Primjer 10. Priprava poli(vinil-alkohola) (PVAL) provodi se hidrolizom, tj. alkoholizom poli(vinil-estera) kao što je poli(vinil-acetat) (PVAC), najčešće u lužnatom mediju uz dodatak alkohola (npr. metanola). Pri normalnim uvjetima doseg reakcije je oko 90\%. Trajanje alkoholize je normalna slučajna varijabla čije je očekivanje 2 sata za postizanje navedene konverzije, a standardna devijacija 7 minuta. Izračunajte vjerojatnost sljedećih događaja:


a)
Alkoholiza PVAL-a trajati će točno 1 sat i 45 minuta
 
b)
Alkoholiza PVAL-a trajati će dulje od 122 minute
 
c)
Alkoholiza PVAL-a trajati će kraće od 117 minuta
 
d)
Alkoholiza PVAL-a trajati će između 110 i 130 minuta


Rješenje:
1. Primjena programskog paketa GeoGebra
Primjer ćemo prvo riješiti pomoću matematičkog alata GeoGebra. GeoGebra je program kojeg je moguće koristiti bez prethodne instalacije, jednostavnim upisivanjem pojma GeoGebra u Google. Nakon upisivanja, potrebno je kliknuti na Klasična GeoGebra gdje se otvara sučelje koje je prikazano na Slici 3. U izborniku s desne strane kliknuti na Vjerojatnost, a nakon otvaranja novog prozora, u padajućem izborniku potrebno je odabrati opciju Normalna što je vidljivo na Slici 4.

Slika 3: Slika 3.


Slika 4: Slika 4.

Na Slici 3. vidimo da najprije treba unijeti vrijednost za matematičko očekivanje \mu i standardnu devijaciju \sigma . U našem primjeru je trajanje alkoholize je normalna slučajna varijabla čije je očekivanje 2 sata, pa za \mu stvaljamo 120 (odnosi se na 120 minuta) i standardna devijacija 7 minuta, pa za \sigma stavljamo 7.

U zadatku pod a) pitanje je kolika je vjerojatnost da će alkoholiza PVAL-a trajati će točno 1 sat i 45 minuta, stoga je potrebno izabrati Interval, a potom unijeti vrijednost 105 slijeva i zdesna (Slika 3.).



Napomena 11. Dobivena vjerojatnost iznosi 0, a razlog leži u činjenici da se kod kontinuiranih varijabli vjerojatnost pridružuje intervalima realnih brojeva, a vjerojatnost pridružena pojedinačnim vrijednostima je jednaka 0.


Slika 5: Slika 5.

U zadatku pod b) pitanje je kolika je vjerojatnost da će alkoholiza PVAL-a trajati dulje od 122 minute, stoga je potrebno izabrati Jednostrani desni interval, a potom unijeti vrijednost 122 (Slika 5.). Dobivena vjerojatnost iznosi 0.3875.

Slika 6: Slika 6.

U zadatku pod c) pitanje je kolika je vjerojatnost da će alkoholiza PVAL-a trajati kraće od 117 minuta, stoga je potrebno izabrati Jednostrani lijevi interval, a potom unijeti vrijednost 117 (Slika 7.). Dobivena vjerojatnost iznosi 0.3341.

Slika 7: Slika 7.

U zadatku pod d) pitanje je kolika je vjerojatnost da će alkoholiza PVAL-a trajati između 110 i 130 minuta, stoga je potrebno izabrati Interval, a potom unijeti vrijednost 110 slijeva i vrijednost 130 zdesna (Slika 8.). Dobivena vjerojatnost iznosi 0.8469.

Slika 8: Slika 8.

2. Numeričko rješavanje:


a) P(X=105)=0 (pogledati Napomenu 1.)


b)


 

P(X\gt 122)=1-P(X\leq 122)
1-\Phi(\frac{122-120}{7})=1-\Phi(\frac{2}{7})
1-\Phi(0.29)=1-0.6141=0.3859


Napomena 12. ovdje se mora koristiti formula suprotne vjerojatnost, odnosno mora se ra čunati po formuli P(X\gt A)=1-P(X\leq A^{C}).


U drugom redu je vidljivo da smo računanje normalne razdiobe sveli na ra čunanje jedinične normalne razdiobe, uvođenjem varijable Z\colon=\frac{X-\mu}{\sigma}. Vrijednost \Phi(0.29) tražimo u tablicama, tako što prvo u prvom stupcu tablice pronadjemo vrijednost 0.2, a zatim u tom retku pronadjemo stupac sa vrijednošću 9 (Slika 9.)


Slika 9: Slika 9.

c)


 

P(X\lt 117)=\Phi(\frac{117-120}{7})=\Phi(-\frac{3}{7})
=1-\Phi(3/7)=1-\Phi(0.43)=1-0.664=0.336


Napomena 13. Vrijednost \Phi(0.43) se traži u tablicama vrijednosti jedinične normalne razdiobe na isti način kao i pod a).


d)


 

P(110\lt X\lt 130)=\Phi(\frac{130-120}{7})-\Phi(\frac{110-120}{7})=
\Phi(\frac{10}{7})-\Phi(-\frac{10}{7})=\Phi(1.43)-(1-\Phi(1.43))
=2\cdot 0.9236-1=0.8472.

3. Primjena programskog paketa Symbolab:



Napomena 14. Napomena: Symbolab je program kojeg je moguće koristiti bez prethodne instalacije, jednostavnim upisivanjem pojma Symbolab u Google. U Symbolab je tek odnedavno uvedena opcija izračuna normalne razdiobe, pa smo je odmah odlučili isprobati na našem primjeru. Usprkos našem dobrom iskustvu do sada sa Symbolabom, ovaj put moramo priznati da nije ponu\dj {}en najbolji način rješavanja jer za izračun moramo prethodno napraviti samostalne korake kao što je izračun varijable Z\colon = \frac{X-\mu }{\sigma }. Znači sa Symbolabom nismo u potpunosti izbjegli numeričko rješavanje kao što je slučaj sa GeoGebrom.


a) Obzirom da sami moramo izračunati Z\colon=\frac{X-\mu}{\sigma}, za P(X=105), uopće ne postoji opcija izračuna, nego bi korisnik morao znati činjenicu da se kod kontinuiranih varijabli vjerojatnost pridru žuje intervalima realnih brojeva, a vjerojatnost pridružena pojedina čnim vrijednostima je jednaka 0.


b) Ovdje se mora koristiti formula suprotne vjerojatnosti, odnosno mora se ra čunati po formuli P(X\gt A)=1-P(X\leq A^{C}). I ne samo to, nego se za izračun P(X\gt 122) prvo mora izračunati Z=\frac{122-120}{7}=0.29 i tek onda možemo pristupiti uporabi Symbolaba.
Nakon što smo otvorili Symbolab, u prvom gornjem redu kliknemo na opciju Solutions (Slika 10.).
Na lijevoj strani će nam se pojaviti popis izračuna koje nam nudi Symbolab. Na izborniku biramo Statistics.

Slika 10: Slika 10.

Nakon toga nam se pojavi izbornik pod nazivom Statistics Calculator, na kojem se u dnu pojavi mogućnost izračuna Standardne normalne distribucije (Slika 11.).

Slika 11: Slika 11.

Klikom na Standardnu normalnu distribuciju pojavi se P(Z=), u koji upisemo P(Z=0.29) (Slika 12.). Vidimo da je rješenje P(Z=0.29)=0.6103. Kad smo taj korak napravili možemo izračunati suprotnu vjerojatnost, pa je rješenje



 

P(X\gt 122)=1-0.6103=0.3897

Slika 12: Slika 12.


c) Za izračun P(X\lt 117) prvo mora izračunati Z=\frac{117-120}{7} =-0.43. Upisivanjem Z=-0.43 dobijemo (Slika 13.)


 

P(X\lt 117)=0.336

Slika 13: Slika 13.



Napomena 15. U ovom slučaju vidimo da Z može biti i negativan, što u sluč aju numeričkog rješavanja nije moguće.


d) Za izračun P(110\lt X\lt 130) prvo moramo izračunati Z=\frac{130-120 }{7}=1.43 i Z=\frac{110-120}{7}=-1.43. Na isti način kao u prethodnim primjerima u Symbolabu dobijemo da je P(Z=1.43)=0.9236 i P(Z=-1.43)=0.0764, pa je rješenje


 

P(110\lt X\lt 130)=\Phi(\frac{130-120}{7})-\Phi(\frac{110-120}{7})=
=0.9236-0.0764=0.8472


4Zaključak

Iz konkretnog primjera iz kemije je očito da je numeričko rješavanje i postavljanje ovakvih problema složeno. Kod primjene gotovih programskih paketa GeoGebra i Symbolab, se GeoGegebra pokazala boljom opcijom, jer ne zahtjeva nikakve predizračune dok sa Symbolabom nismo u potpunosti izbjegli numeričko rješavanje. 

Bibliografija
[1] W. Volk: Applied Statistics for Engineers, McGraww-Hill Book Company, Inc., United States of America, 1958.
 
[2] https://moodle.srce.hr/2020-2021/enrol/index.php?id=70069;   (Datum zadnjeg pristupa: 22.07.2021.)
 
[3] B.V. Gnedenko, A.J. Hinčin: Uvod u teoriju vjerojatnosti, Tehnička knjiga, Zagreb, 1995.
 
[4] S. Pivac, A. Rozga: Statistika za sociološka istraživanja, Sveučilište u Splitu, Split, 2006.
 
[5] http://matematika.fkit.hr/novo/statistika_i_vjerojatnost/predavanja/4-Osnove_teorije_vjerojatnosti_za_inzenjere_3.dio.pdf  ;  (Datum zadnjeg pristupa: 07.07.2021.)
 
[6] N. Koceić Bilan: Primijenjena statistika, Prirodoslovno-matematički fakultet u Splitu, Split, 2011.
 
[7] https://www.mathos.unios.hr/uvis/poglavlje2.pdf  (Datum zadnjeg pristupa: 14.07.2021.)

 

  • Share this

O zlatnom rombu

 
Bojan Kovačić i Mirela Katić Žlepalo
Tehničko veleučilište u Zagrebu


1Sažetak

U ovom članku definirat ćemo zlatni romb, objasnit ćemo neka njegova svojstva i pokazati neke konstrukcije vezane uz zlatni romb, a koje se mogu izvesti ravnalom i šestarom.

2Uvod

Zlatni rez i zlatni pravokutnik su omiljena tema u matematici, odnosno geometriji, a i u umjetnosti. O njima je napisano zaista mnoštvo radova. Poznat je i pojam zlatnog romba, ali se on u literaturi nešto rjeđe spominje. Stoga ćemo u ovom radu definirati zlatni romb, te navesti njegova najvažnija svojstva i načine konstrukcija.

3O zlatnom rezu

Dužina (\overline{AC}) je podijeljena u zlatnom rezu ako je omjer većeg dijela dužine (\overline{AB}) prema manjem dijelu dužine (\overline{BC}) jednak omjeru cijele dužine (\overline{AC}) prema većem dijelu dužine (\overline{AB}) (vidjeti Sliku 1).

Slika 1: Podjela dužine \overline{AC} u zlatnom rezu


Pokazuje se da je

(1)
\frac{x}{y}=\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx1.61803398875... .

Broj \varphi nazivamo zlatni broj. Jednakost (1) može se zapisati i u ekvivalentnom obliku:

(2)
\frac{y}{x}=\frac{1}{\varphi}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}\approx0.61803398875... .

Za pregledne podatke o zlatnom rezu i dvjema osnovnim konstrukcijama vezanima uz zlatni rez zainteresiranoga čitatelja upućujemo na članak [1].

4Definicija i osnovna svojstva zlatnoga romba

Zlatni romb je romb kojemu je omjer duljine veće dijagonale (e) i manje dijagonale (f) jednak zlatnom broju \varphi (vidjeti Sliku 2). Preciznije, vrijede sljedeće jednakosti:

(3)
\frac{e}{f}=\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2},

(4)
\frac{f}{e}=\frac{1}{\varphi}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.

Napomena: Ne istaknemo li drugačije, u iskazima i dokazima svih svojstava zlatnoga romba koristimo oznake sa Slike 2.

Slika 2: Zlatni romb


Pokažimo najprije da su svi zlatni rombovi slični. U tu ćemo svrhu najprije izračunati mjere unutrašnjih kutova proizvoljnoga zlatnoga romba.

Propozicija 1. (prema [4]) Mjere (u radijanima) unutrašnjih kutova proizvoljnoga zlatnoga romba dane su izrazima:

 

\alpha=2 arctg(\frac{\sqrt{5}-1}{2})radijana\approx63^{\circ}26'6'',

\beta=2 arcctg(\frac{\sqrt{5}-1}{2})radijana\approx116^{\circ}33'54''.

Dokaz: Prisjetimo se da je romb četverokut kojemu su dijagonale međusobno okomite, a ujedno su i simetrale unutrašnjih kutova romba (tj. kutova \alpha i \beta). Promotrimo bilo koji od četiriju pravokutnih trokutova na koje je romb podijeljen svojim dijagonalama. Duljine kateta toga trokuta su \frac{e}{2} i \frac{f}{2} , duljina hipotenuze a, a mjere šiljastih kutova \frac{\alpha}{2} i \frac{\beta}{2}. Primjenom (4) i osnovnih trigonometrijskih relacija u pravokutnom trokutu dobivamo:

(5)
tg\bigg(\frac{\alpha}{2}\bigg)=ctg\bigg(\frac{\beta}{2}\bigg)=\frac{\frac{f}{2}}{\frac{e}{2}}=\frac{f}{e}=\frac{1}{\varphi}.

Odatle slijedi:

\alpha=2 arctg\bigg(\frac{1}{\varphi}\bigg)=2 arctg\bigg(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\bigg),
\beta=2 arcctg\bigg(\frac{1}{\varphi}\bigg)=2 arcctg\bigg(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\bigg).

što je i trebalo dokazati. (Pretvorbe mjera kutova u stupnjeve prepuštamo čitatelju.) \square

Korolar 1. Svi zlatni rombovi su slični.

Dokaz: Prema Propoziciji 1, mjere svih unutrašnjih kutova romba su konstante. Zbog toga tvrdnja korolara izravno slijedi iz definicije sličnosti dvaju mnogokuta (vidjeti npr. [2]). \square

Zbog netom dokazanoga svojstva, zlatni romb je potpuno određen zadavanjem jedne od dviju dijagonala ili osnovice romba. Razmotrimo zasebno svaki pojedini slučaj. Radi jasnoće i preglednosti, relacije formuliramo u obliku propozicija.

Najprije iskažimo jednakost koju ćemo često koristiti u nastavku teksta.

Lema 1. Za zlatni broj \varphi vrijedi jednakost:

(6)
\varphi^{2}=\varphi+1.

Dokaz: Izravnim uvrštavanjem \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} u navedenu jednakost ili uočavanjem da je \varphi rješenje kvadratne jednadžbe x^{2}-x-1=0. Detalje prepuštamo čitatelju. \square

Propozicija 2. Neka je zadan zlatni romb čija je duljina osnovice a. Tada su:

(7)
e=\frac{\sqrt{50+10 \sqrt{5}}}{5} a,

(8)
f=\frac{\sqrt{50-10 \sqrt{5}}}{5} a.

Dokaz: Prema Pitagorinu poučku vrijedi:

(9)
e^{2}+f^{2}=4 a^{2}.

Iz (3) slijedi e=\varphi f, pa uvrštavanjem te jednakosti u (9) i korištenjem (6) dobivamo:

\varphi^{2} f^{2}+f^{2}=4 a^{2},
(\varphi^{2}+1) f^{2}=4 a^{2},
((\varphi+1)+1) f^{2}=4 a^{2},
f^{2}=\frac{4 a^{2}}{\varphi+2},
f=\frac{2}{\sqrt{\varphi+2}} a=
=\frac{2}{\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}+2}} a=
=\frac{2}{\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}} a=
=\frac{2}{\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}\frac{\sqrt{10 (5-\sqrt{5})}}{\sqrt{10 (5-\sqrt{5})}} a=
=\frac{\sqrt{10 (5-\sqrt{5})}}{5} a=
=\frac{\sqrt{50-10 \sqrt{5}}}{5} a.

Iz (4) slijedi f=\frac{e}{\varphi}, pa uvrštavanjem te jednakosti u (9) i korištenjem (6) dobivamo:

e^{2}+\frac{e^{2}}{\varphi^{2}}=4 a^{2},
\bigg(1+\frac{1}{\varphi^{2}}\bigg) e^{2}=4 a^{2},
\bigg(1+\frac{1}{\varphi+1}\bigg) e^{2}=4 a^{2},
\frac{\varphi+2}{\varphi+1} e^{2}=4 a^{2},
e=\frac{2 \sqrt{\varphi+1}}{\sqrt{\varphi+2}} a=
=\frac{2 \sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}+1}}{\sqrt{\frac{1+\sqrt{5}}{2}+2}} a=
=\frac{2 \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}}{\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}} a=
=\frac{2 \sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}}{\sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}} \frac{\sqrt{10 (5-\sqrt{5})}}{\sqrt{10 (5-\sqrt{5})}} a=
=\frac{\sqrt{5 (3+\sqrt{5}) (5-\sqrt{5})}}{5} a=
=\frac{\sqrt{50+10 \sqrt{5}}}{5} a.

Time je propozicija dokazana. \square

Propozicija 3. Neka je zadan zlatni romb kojemu je duljina veće dijagonale e. Tada su:

(10)
f=\frac{\sqrt{5}-1}{2} e,

(11)
a=\frac{\sqrt{10-2 \sqrt{5}}}{4} e,

Dokaz: Prva jednakost odmah slijedi iz (4), a druga iz (7). Detalje prepuštamo čitatelju. \square

Propozicija 4. Neka je zadan zlatni romb kojemu je duljina manje dijagonale f. Tada su:

(12)
e=\frac{\sqrt{5}+1}{2} f,

(13)
a=\frac{\sqrt{10+2 \sqrt{5}}}{4} f.

Dokaz: Prva jednakost odmah slijedi iz (3), a druga iz (8). Detalje prepuštamo čitatelju. \square

Izvedimo sada izraze za površinu zlatnoga romba.

Propozicija 5. Površina zlatnoga romba (P) dana je sljedećim izrazima:

(14)
P=\frac{\sqrt{5}-1}{4} e^{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{4} f^{2}=\frac{2}{5} \sqrt{5} a^{2}.

Dokaz: Romb je četverokut s okomitim dijagonalama, pa se njegova površina može izračunati prema formuli:

(15)
P=\frac{e f}{2}.

Sada prva jednakost odmah slijedi uvrštavanjem (10) u (15), a druga uvrštavanjem (12) u (15). Pomnožimo li jednakosti (11) i (13) i ponovo iskoristimo (15), dobijemo:

a^{2}=\frac{\sqrt{100-20}}{16} e f=\frac{4 \sqrt{5}}{8} \frac{e f}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} P,

a odatle izravno slijedi treća jednakost. \square

Svakom rombu se može upisati kružnica. Njezin je promjer jednak visini romba. Ekvivalentno, polumjer rombu upisane kružnice jednak je polovici visine romba. Izraze za izračunavanje toga polumjera u slučaju zlatnoga romba navodimo u sljedećoj propoziciji.

Propozicija 6. Polumjer zlatnom rombu upisane kružnice (r) dan je sljedećim izrazima:

(16)
r=\frac{\sqrt{50-10 \sqrt{5}}}{20} e=\frac{\sqrt{50+10 \sqrt{5}}}{20} f=\frac{\sqrt{5}}{5} a.

Dokaz: Neka je v duljina visine romba. Znamo da je v=2 r, pa uvrštavanjem toga izraza u formulu za površinu romba P=a v dobijemo:

P=2 a r,

a odatle je

(17)
r=\frac{P}{2 a}.

Ako u (17) uvrstimo prvu jednakost iz (14) i jednakost (11), nakon sređivanja dobivamo prvu jednakost u (16).
Ako u (17) uvrstimo drugu jednakost iz (14) i jednakost (13), nakon sređivanja dobivamo drugu jednakost u (16).
Naposljetku, ako u (17) uvrstimo treću jednakost iz (14), odmah dobivamo preostalu, treću jednakost u (16). Detalje prepuštamo čitatelju. \square

Napomena: Zlatnom rombu nije moguće opisati kružnicu. Podsjetimo, rombu se može opisati kružnica ako i samo ako je romb kvadrat.

Propozicija 7. Dirališta zlatnom rombu upisane kružnice dijele stranice romba u omjeru \varphi : \frac{1}{\varphi}.

Dokaz: Budući da dijagonale bilo kojega romba dijele romb na četiri sukladna trokuta, tvrdnju propozicije dovoljno je dokazati samo za jednu stranicu romba. Stoga bez smanjenja općenitosti odaberimo stranicu \overline{AB} i diralište E. Iz (5) slijedi

\varphi=tg\bigg(\frac{\beta}{2}\bigg)=\frac{|\overline{SE}|}{|\overline{BE}|},
\frac{1}{\varphi}=tg\bigg(\frac{\alpha}{2}\bigg)=\frac{|\overline{SE}|}{|\overline{AE}|}.

Dijeljenjem tih jednakosti odmah dobivamo |\overline{AE}|:|\overline{BE}|=\varphi : \frac{1}{\varphi}, što je i trebalo pokazati. \square

5Konstrukcije zlatnoga romba

U prethodnoj smo točki pokazali da je za jednoznačno određivanje zlatnoga romba dovoljno zadati jednu od dijagonala ili osnovicu romba. Zbog toga razlikujemo tri osnovne konstrukcije zlatnoga romba:
1.Konstrukcija ako je zadana duljina osnovice (a).
2.Konstrukcija ako je zadana duljina veće dijagonale (e).
3.Konstrukcija ako je zadana duljina manje dijagonale (f).


Svaka od ovih konstrukcija zasniva se na konstrukciji pravokutnoga trokuta kojemu je omjer duljina kateta jednak zlatnom broju. Stoga ćemo najprije opisati tu konstrukciju.



5.1Konstrukcije pravokutnoga trokuta kojemu je omjer duljina kateta jednak zlatnom broju

Dokažimo najprije sljedeću propoziciju.

Propozicija 8. Neka je \Delta ABC pravokutan trokut kojemu su duljine kateta a i b. Pretpostavimo da je a:b=\varphi. Tada je \Delta ABC jednoznačno određen zadavanjem duljine bilo koje svoje stranice.

Dokaz: Bez smanjenja općenitosti možemo pretpostaviti da su kutovi u trokutu \Delta ABC označeni standardno (tj. nasuprot katete a se nalazi kut \alpha itd.).

Pretpostavimo najprije da je zadana duljina bilo koje katete. Tada iz omjera a:b=\varphi najprije izračunamo duljinu preostale katete. Duljinu hipotenuze c potom izračunamo npr. koristeći Pitagorin poučak. Time je dokazana tvrdnja propozicije za ovaj slučaj.

Preostaje razmotriti slučaj kad je zadana duljina hipotenuze c. Iz pretpostavke
a:b=\varphi slijedi:

(18)
tg\alpha=\frac{a}{b}=\varphi,

pa primjenom trigonometrijskih relacija u pravokutnom trokutu (vidjeti [3])i relacije (6) dobivamo:

a=c sin\alpha=c \frac{tg\alpha}{\sqrt{1+tg^{2}\alpha}}=c \frac{\varphi}{\sqrt{\varphi^{2}+1}}=c \frac{\varphi}{\sqrt{\varphi+2}},
b=c cos\alpha=c \frac{1}{\sqrt{1+tg^{2}\alpha}}=c \frac{1}{\sqrt{\varphi^{2}+1}}=c \frac{1}{\sqrt{\varphi+2}}.

Odatle slijedi da su jednoznačno određene i duljine obiju kateta, što smo i htjeli pokazati. \square

Radi jednostavnosti, u nastavku pretpostavljamo da je \Delta ABC pravokutan trokut kojemu su duljine kateta a i b takve da je a:b=\varphi. Analogno kao u dokazu Propozicije 8., pretpostavljamo da su sve ostale oznake veličina u \Delta ABC standardne.

Pokažimo da se \Delta ABC može konstruirati ako je zadana duljina bilo koje njegove stranice. Sve konstrukcije izvodimo ravnalom i šestarom. Radi jasnoće i preglednosti izlaganja, svaku od triju mogućih konstrukcija formuliramo u obliku zadatka.

Zadatak 1. Konstruirajte \Delta ABC ako je zadana duljina katete a.

Rješenje: Iz pretpostavke zadatka i ranije pretpostavke o standardnim oznakama veličina u \Delta ABC zaključujemo da je zadana dužina \overline{BC} takva da je |\overline{BC}|=a. Trokut će biti potpuno konstruiran kad odredimo preostali vrh A. Točka C mora biti vrh pravoga kuta trokuta \Delta ABC, pa su koraci konstrukcije sljedeći:
Korak 1. Iz točke C uzdignemo okomicu p na polupravac CB. Radi određenosti, u daljnjem smatramo da je p polupravac kojemu je C početna točka.
Korak 2. Nacrtamo kružni luk sa središtem u točki C i polumjerom r_{1}=\overline{BC}. Taj kružni luk siječe polupravac p u točki D.
Korak 3. Odredimo polovište P dužine \overline{BC}.
Korak 4. Nacrtamo kružni luk sa središtem u točki P i polumjerom r_{2}=\overline{PD}. Taj luk siječe pravac CB u točki E.
Korak 5. Nacrtamo kružni luk sa središtem u točki C i polumjerom r_{3}=\overline{CE}. Taj luk siječe polupravac p u traženoj točki A.
Dokaz konstrukcije: Vidjeti rješenje Zadatka 1 u [1].

Zadatak 2. Konstruirajte \Delta ABC ako je zadana duljina katete b.

Rješenje: Iz pretpostavke zadatka i ranije pretpostavke o standardnim oznakama veličina u \Delta ABC zaključujemo da je zadana dužina \overline{AC} takva da je |\overline{AC}|=b. Trokut će biti potpuno konstruiran kad odredimo preostali vrh B. Točka C mora biti vrh pravoga kuta trokuta, pa su koraci konstrukcije sljedeći:
Korak 1. Iz točke C uzdignemo okomicu p na polupravac CA. Ponovno radi jednostavnosti i jednoznačnosti rješenja, u daljnjem smatramo da je p polupravac kojemu je C početna točka.
Korak 2. Odredimo polovište P dužine \overline{AC}.
Korak 3. Nacrtamo kružni luk sa središtem u točki C i polumjerom r_{1}=\overline{CP}. Taj luk siječe polupravac p u točki D.
Korak 4. Nacrtamo kružni luk sa središtem u točki D i polumjerom r_{2}=\overline{AD}. Taj luk siječe polupravac p u traženoj točki B.
Dokaz konstrukcije: Zapravo treba dokazati da je |\overline{BC}|=a. Iz Koraka 3 i 4 slijedi B,D\in p. Iz Koraka 1 zaključujemo da je p okomit na polupravac CA, pa su trokutovi ABC i ACD pravokutni trokutovi s pravim kutom u vrhu C. Iz Koraka 2 i Koraka 3 slijedi |\overline{CD}|=|\overline{CP}|=\frac{b}{2}, dok iz Koraka 4 slijedi |\overline{BD}|=|\overline{AD}|. Primjenom Pitagorina poučka na trokut ACD dobivamo:

|\overline{BC}|=|\overline{CD}|+|\overline{BD}|=|\overline{CP}|+|\overline{AD}|=\frac{b}{2}+\sqrt{|\overline{AC}|^{2}+|\overline{CD}|^{2}}= \frac{b}{2}+\sqrt{|\overline{AC}|^{2}+|\overline{CP}|^{2}}=
=\frac{b}{2}+\sqrt{b^{2}+\bigg(\frac{b}{2}\bigg)^{2}}=\frac{b}{2}+\sqrt{b^{2}+\frac{b^{2}}{4}}=\frac{b}{2}+\sqrt{5 \frac{b^{2}}{4}}=\frac{b}{2}+\frac{b}{2} \sqrt{5}=\bigg( \frac{1+\sqrt{5}}{2}\bigg) b=\varphi b.

S druge strane, pretpostavka a:b=\varphi je ekvivalentna s a=\varphi b, pa iz dobivenih jednakosti zaključujemo da je |\overline{BC}|=a, što smo i željeli dokazati. \square

Zadatak 3. Konstruirajte \Delta ABC ako je zadana duljina hipotenuze c.

Rješenje: \Delta ABC je najbrže i najlakše konstruirati tako da se najprije konstruira zlatni romb čija osnovica ima duljinu c. Ovu konstrukciju izložit ćemo u sljedećoj točki.
Dokaz konstrukcije: Pretpostavimo da smo konstruirali zlatni romb ABCD kojemu je c duljina osnovice. Neka je S sjecište njegovih dijagonala. Tada je traženi trokut npr. \Delta ABS (ili, općenito, bilo koji trokut određen dvama susjednima vrhovima romba i točkom S). Ispravnost ovoga zaključka slijedi iz definicije zlatnoga romba i činjenice da su dijagonale bilo kojega romba međusobno okomite. Detalje prepuštamo čitatelju. \square

5.2Konstrukcije zlatnoga romba

Već smo ranije istaknuli (vidjeti primjedbu neposredno iza Korolara 1) da je zlatni romb jednoznačno određen zadavanjem bilo koje njegove dijagonale ili njegove osnovice. Stoga ćemo razmotriti konstrukciju romba u svakom od tih slučajeva. Radi jasnoće i preglednosti, konstrukcije ćemo ponovno formulirati u obliku zadataka.

U svim konstrukcijama pretpostavljamo da je ABCD zlatni romb kojemu su \overline{AC} veća dijagonala, \overline{BD} manja dijagonala i S sjecište tih dijagonala.

Zadatak 4. Konstruirajte zlatni romb kojemu je zadana duljina veće dijagonale e.

Rješenje: U skladu s pretpostavkama, zadana nam je \overline{AC} takva da je |\overline{AC}|=e. Koraci konstrukcije su sljedeći:
Korak 1. Odredimo polovište P dužine \overline{AC}.
Korak 2. Konstrukcijom opisanom u rješenju Zadatka 1 konstruiramo pravokutan trokut APB čija je veća kateta \overline{AP}.
Korak 3. Nacrtamo kružni luk sa središtem u točki P i polumjerom r=\overline{PB}. Taj luk će presjeći pravac PB u točkama B i D.
Korak 4. Četverokut ABCD je traženi zlatni romb.
Dokaz konstrukcije: Prema Koracima 1 i 3, P je zajedničko polovište dužina \overline{AC} i \overline{BD}. To znači da je četverokut ABCD paralelogram. Prema Koraku 2, trokut APB je pravokutan trokut, pa su dijagonale \overline{AC} i \overline{BD} četverokuta ABCD okomite. Odatle slijedi da je četverokut ABCD romb. Prema konstrukciji iz Koraka 2 vrijedi omjer |\overline{AP}|:|\overline{BP}|=\varphi. Budući da su |\overline{AP}|=\frac{e}{2} i |\overline{BP}|=\frac{f}{2}, zaključujemo da je \varphi =|\overline{AP}|:|\overline{BP}|=\frac{e}{2}:\frac{f}{2}=e:f, pa je ABCD zlatni romb. \square

Zadatak 5. Konstruirajte zlatni romb kojemu je zadana duljina manje dijagonale f.

Rješenje: U skladu s pretpostavkama, zadana nam je \overline{BD} takva da je |\overline{BD}|=f . Koraci konstrukcije su sljedeći:
Korak 1. Odredimo polovište P dužine \overline{BD}.
Korak 2. Konstrukcijom opisanom u rješenju Zadatka 2 konstruiramo pravokutan trokut APB čija je manja kateta \overline{BP}.
Korak 3. Nacrtamo kružni luk sa središtem u točki P i polumjerom r=\overline{AP}. Taj luk će presjeći pravac AP u točkama A i C.
Korak 4. Četverokut ABCD je traženi zlatni romb.
Dokaz konstrukcije: Jednak je dokazu konstrukcije iz Zadatka 4, pa ga izostavljamo. \square

Preostalo je razmotriti slučaj konstrukcije zlatnoga romba u slučaju kad je zadana duljina osnovice romba. U tu ćemo svrhu najprije riješiti sljedeći zadatak.

Zadatak 6. (prilagođeno prema [5]) Konstruirajte zlatni romb čija je duljina osnovice \sqrt{5} (jedinica duljine).

Rješenje: Promotrimo pravokutnik A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} čije su duljine stranica 4 i 2. Radi određenosti, zapišimo:

|\overline{A_{1}B_{1}}|=|\overline{C_{1}D_{1}}|=4, |\overline{B_{1}C_{1}}|=|\overline{D_{1}A_{1}}|=2.

U taj pravokutnik upišimo kružnicu k polumjera 1 čije je središte u sjecištu dijagonala pravokutnika. Dijagonala \overline{B_{1}D_{1}} siječe kružnicu k u točkama S_{1} i S_{2}. U tim točkama povucimo tangente t_{1} i t_{2} na kružnicu k. Neka su:

A:=t_{2} \cap \overline{A_{1}B_{1}},
B:=t_{1} \cap \overline{A_{1}B_{1}},
C:=t_{1} \cap \overline{C_{1}D_{1}},
D:=t_{2} \cap \overline{C_{1}D_{1}}.

Tada je četverokut ABCD traženi zlatni romb (vidjeti Sliku 3).

Slika 3: Zlatni romb čija je duljina osnovice \sqrt{5}


Dokaz konstrukcije I. Naznačit ćemo samo glavne korake dokaza, a detalje prepuštamo čitatelju. Smjestimo pravokutnik A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} u pravokutni koordinatni sustav u ravnini tako da središte pravokutnika, tj. sjecište S njegovih dijagonala bude u ishodištu koordinatnoga sustava. Neka su vrhovi pravokutnika A_{1}=(-2,-1),B_{1}=(2,-1),C_{1}=(2,1),D_{1}=(-2,1). Jednadžba kružnice k sa središtem u S=(0,0) i polumjerom r=1 je x^{2}+y^{2}=1. Jednadžba pravca na kojemu leži dijagonala \overline{B_{1}D_{1}} je y=-\frac{1}{2} x. Taj pravac siječe kružnicu k u točkama S_{1}=\bigg( \frac{2}{5} \sqrt{5},-\frac{1}{5} \sqrt{5}\bigg) i S_{2}=\bigg( -\frac{2}{5} \sqrt{5},\frac{1}{5} \sqrt{5}\bigg). Jednadžba tangente povučene na kružnicu k u točki S_{1} je t_{1}... y=2 x-\sqrt{5}, a jednadžba tangente povučene na kružnicu k u točki S_{2} je t_{2}... y=2 x+\sqrt{5}. Presiječemo li pravce t_{1} i t_{2} s pravcima y=-1 (pravac na kojemu leži stranica \overline{A_{1}B_{1}}) i y=1 (pravac na kojemu leži stranica \overline{C_{1}D_{1}}), uz oznake definirane u opisu konstrukcije dobit ćemo:

A=\bigg( -\frac{1+\sqrt{5}}{2},-1\bigg),B=\bigg( \frac{\sqrt{5}-1}{2},-1\bigg),C=\bigg( \frac{1+\sqrt{5}}{2},1\bigg),D=\bigg( -\frac{\sqrt{5}-1}{2},1\bigg).

Sada se lako provjeri da je ABCD romb čija osnovica ima duljinu \sqrt{5}. Preostaje provjeriti da je ABCD zlatni romb. Sjecište dijagonala romba je također točka S, odnosno ishodište. Lako izračunamo:

e=|\overline{AC}|=2 |\overline{AS}|=2 \sqrt{\frac{\sqrt{5} (\sqrt{5}+1)}{2}},
f=|\overline{BD}|=2 |\overline{BS}|=2 \sqrt{\frac{\sqrt{5} (\sqrt{5}-1)}{2}},

pa je:

\frac{e}{f}=\sqrt{\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}-1}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{5}+1)^{2}}{(\sqrt{5}-1) (\sqrt{5}+1)}}=\sqrt{\frac{(\sqrt{5}+1)^{2}}{4}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\varphi,

što smo i željeli pokazati. \square

Dokaz konstrukcije II. Ovaj dokaz je elegantniji od prvoga jer ne koristi koordinatizaciju. Zbog toga ćemo u potpunosti obrazložiti svaki njegov korak. Koristimo oznake sa Slike 3 i iz konstrukcije. Pritom napominjemo da je točka E polovište stranice \overline{A_{1}B_{1}}, a točka F polovište stranice \overline{C_{1}D_{1}}.

Pokažimo najprije da je četverokut ABCD paralelogram. Prema konstrukciji, pravac na kojemu leži dijagonala \overline{BD} prolazi središtem kružnice k, pa je dužina \overline{S_{1}S_{2}} promjer kružnice k. Pravci t_{1} i t_{2} su tangente na kružnicu k, pa su okomiti na dužinu \overline{S_{1}S_{2}}, a time i na dijagonalu \overline{BD}. To znači da su pravci t_{1} i t_{2} usporedni (okomiti su na istu dužinu \overline{S_{1}S_{2}}). Odatle slijedi da je stranica \overline{BC} četverokuta ABCD usporedna sa stranicom \overline{AD}. Usporednost stranica \overline{AB} i \overline{CD} slijedi izravno iz usporednosti stranica \overline{A_{1}B_{1}} i \overline{C_{1}D_{1}} koja vrijedi jer je A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} pravokutnik. Time smo pokazali da je četverokut ABCD paralelogram.

Pokažimo da je paralelogram ABCD romb. U tu je svrhu dovoljno dokazati da je |\overline{AB}|=|\overline{AD}|. Površina paralelograma ABCD dana je izrazima P_{ABCD}=|\overline{AB}| v_{1}=|\overline{AD}| v_{2}, gdje su v_{1} i v_{2} duljine visina povučenih na stranicu \overline{AB}, odnosno \overline{AD}. Primijetimo da je dužina \overline{EF} visina na stranicu \overline{AB} (jer sa stranicama \overline{AB} i \overline{CD} zatvara pravi kut), te da je iz analognoga razloga dužina \overline{S_{1}S_{2}} visina na stranicu \overline{AD}. No, |\overline{EF}|=|\overline{S_{1}S_{2}}|=2 jer su te dužine promjeri kružnice k. Dakle, vrijedi jednakost v_{1}=v_{2}, pa sada iz |\overline{AB}| v_{1}=|\overline{AD}| v_{2} izravno slijedi |\overline{AB}|=|\overline{AD}|.

Izračunajmo duljinu stranice romba ABCD. Uočimo da je \Delta EBS\cong \Delta SS_{2}D. Oba trokuta su pravokutna (prvi ima pravi kut kod vrha E, a drugi kod vrha S_{2}) i imaju dva para međusobno sukladnih stranica (|\overline{BS}|=|\overline{SD}|=\frac{f}{2} i |\overline{SE}|=|\overline{SS_{2}}|=2), pa primjenom Pitagorina poučka zaključujemo da je i preostali par stranica međusobno sukladan. Preciznije, vrijedi jednakost:

(19)
|\overline{S_{2}D}|=|\overline{S_{1}B}|.

Nadalje, uočimo da je \Delta EB_{1}S\sim \Delta S_{1}BB_{1}. Oba trokuta su pravokutna i imaju zajednički (šiljasti) kut kod vrha B_{1}, pa su i preostala dva kuta tih trokutova sukladna. Stoga navedena sličnost slijedi iz poučka K-K o sličnosti trokutova (vidjeti npr. [2]). Tako dobivamo razmjer:

|\overline{SE}|:|\overline{EB_{1}}|=|\overline{S_{1}B}|:|\overline{S_{1}B_{1}}|.

U taj razmjer uvrstimo:

|\overline{SE}|=1,|\overline{EB_{1}}|=\frac{1}{2} 4=2,
|\overline{S_{1}B_{1}}|=|\overline{SB_{1}}|-|\overline{SS_{1}}|=\frac{1}{2} \sqrt{4^{2}+2^{2}}-1=\frac{1}{2} \sqrt{20}-1=\frac{1}{2} 2 \sqrt{5}-1=\sqrt{5}-1,

pa dobijemo:

(20)
|\overline{S_{1}B}|=\frac{|\overline{SE}| |\overline{S_{1}B_{1}}|}{|\overline{EB_{1}}|}=\frac{1 (\sqrt{5}-1)}{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}.

Naposljetku, uočimo da je \Delta EB_{1}S\sim \Delta S_{2}AB_{1} iz istih razloga kao i \Delta EB_{1}S\sim \Delta S_{1}BB_{1}. Tako dobivamo razmjer:

|\overline{SE}|:|\overline{EB_{1}}|=|\overline{S_{2}A}|:|\overline{S_{2}B_{1}}|.

Budući da su

|\overline{SE}|=1,|\overline{EB_{1}}|=2,
|\overline{S_{2}B_{1}}|=|\overline{S_{2}S_{1}}|+|\overline{S_{1}B_{1}}|=2+(\sqrt{5}-1)=\sqrt{5}+1,

slijedi:

(21)
|\overline{S_{2}A}|=\frac{|\overline{SE}| |\overline{S_{2}B_{1}}|}{|\overline{EB_{1}}|}=\frac{1 (\sqrt{5}+1)}{2}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

Tako iz (19), (20) i (21) dobivamo:

a=|\overline{AD}|=|\overline{AS_{2}}|+|\overline{S_{2}D}|=\frac{\sqrt{5}+1}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}.

Preostaje pokazati da je ABCD zlatni romb. Uočimo da je \Delta ASD\sim \Delta ASS_{2}. Oba trokuta su pravokutna i imaju zajednički kut kod vrha A, pa sličnost ponovno slijedi iz poučka K-K o sličnosti trokutova. Tako dobivamo razmjer:

(22)
|\overline{AS}|:|\overline{SD}|=|\overline{AS_{2}}|:|\overline{SS_{2}}|,

pa zbog |\overline{SS_{2}}|=1, (21) i (22) slijedi

e:f=|\overline{AC}|:|\overline{BD}|=(2 |\overline{AS}|):(2 |\overline{SD}|)=|\overline{AS}|:|\overline{SD}|=
=|\overline{AS_{2}}|:|\overline{SS_{2}}|=\frac{\sqrt{5}+1}{2}:1=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\varphi,

što smo i htjeli pokazati. Time je dokaz završen. \square

Zadatak 7. Konstruirajte zlatni romb kojemu je zadana duljina osnovice a.

Rješenje: Koristimo rješenje Zadatka 6. Koraci konstrukcije su sljedeći:
Korak 1. Postupkom opisanim u rješenju Zadatka 6 konstruiramo zlatni romb ABCD čija osnovica ima duljinu \sqrt{5}.
Korak 2. U šestar uzmemo dužinu duljine a. Zabodemo šestar u vrh A i presiječemo polupravce AB i AD. Tako dobivamo točke P\in AB i T\in AD.
Korak 3. Zabodemo šestar u vrh P i nacrtamo kružnicu polumjera a sa središtem u P. Potom zabodemo šestar u vrh T i nacrtamo kružnicu polumjera a sa središtem u T. Nacrtane kružnice se sijeku u točkama A (koju znamo otprije) i R. Četverokut APRT je traženi zlatni romb.
Dokaz konstrukcije: Prema Korolaru 1, svi zlatni rombovi su slični. Stoga je dovoljno dokazati da su rombovi ABCD i APRT slični, odnosno da su im odgovarajući kutovi sukladni. Oba romba imaju zajednički (šiljasti) kut \alpha kod vrha A, pa i njihovi tupi kutovi moraju biti sukladni (mjera tih kutova jednaka je \pi -\alpha radijana). \square

Konstrukcija zlatnoga romba opisana u rješenju Zadatka 6 ima neke zanimljive posljedice. Naime, u toj smo konstrukciji, osim zlatnoga romba, konstruirali i dužinu \overline{AS_{2}} čija je duljina jednaka \varphi, te dužinu \overline{DS_{2}} čija je duljina jednaka \frac{\sqrt{5}-1}{2}, odnosno zbog (4), \frac{1}{\varphi}. Osim tih dviju dužina, pomoću opisane konstrukcije moguće je jednostavno konstruirati i dužine čije su duljine \varphi^{2} i \frac{1}{\varphi^{2}}. Preciznije, vrijedi sljedeća propozicija.

Propozicija 9. (prema [5]) Neka su G\in \overline{EB_{1}} i H\in \overline{FD_{1}} takve da je |\overline{EG}|=|\overline{FH}|=1 (vidjeti Sliku 3). Tada su:

|\overline{BG}|=\frac{1}{\varphi^{2}},|\overline{CH}|=\varphi^{2}.

Dokaz: Radi kratkoće zapisa, označimo x:=|\overline{AE}|,y:=|\overline{BE}|,z:=|\overline{BG}|,w:=|\overline{CH}|. Uočimo da vrijede relacije:

\Delta AES\cong \Delta ASS_{2},\Delta BES\cong \Delta DSS_{2}.

Zbog njih, te zbog (3) i (4), vrijede jednakosti:

x=|\overline{AS_{2}}|=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=\varphi,
y=|\overline{DS_{2}}|=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\frac{1}{\varphi}.

Pokažimo da je z=\frac{1}{\varphi^{2}}. Prema pretpostavci je |\overline{EG}|=1, pa koristeći Lemu 1 imamo:

z=1-y=1-\frac{1}{\varphi}=\frac{\varphi -1}{\varphi}=\frac{\varphi^{2}-\varphi}{\varphi^{2}}=\frac{(\varphi+1)-\varphi}{\varphi^{2}}=\frac{1}{\varphi^{2}}.

Preostaje pokazati da je w=\varphi^{2}. Uočimo da je \Delta FDS\cong \Delta SEB. To znači da je |\overline{FD}|=|\overline{EB}|=y=\frac{1}{\varphi}. Prema pretpostavci je |\overline{FH}|=1, pa slijedi:

|\overline{DH}|=|\overline{FH}|-|\overline{FD}|=1-y=z.

Tako ponovno koristeći Lemu 1 dobivamo:

w=|\overline{CD}|+|\overline{DH}|=\sqrt{5}+z=\sqrt{5}+\frac{1}{\varphi^{2}}=x+y+1-y=x+1=\varphi +1=\varphi^{2},

što je i trebalo pokazati. Detalje prepuštamo čitatelju. \square

Spomenimo zaključno i posebnu zanimljivost vezanu uz zlatni romb. On se pojavljuje usko vezan uz dodekaedar Bilinskoga (vidjeti Sliku 4). Taj dodekaedar je 1960. otkrio hrvatski matematičar Stanko Bilinski (1909. - 1998.) i nazvao ga rompski dodekaedar druge vrste. Riječ je o konveksnom poliedru kojemu su svih 12 strana sukladni zlatni rombovi. Tim je otkrićem profesor Bilinski pokazao da postoji i rompski dodekaedar kojemu je omjer dijagonala bilo koje strane različit od \sqrt{2}. Dotad se, naime, smatralo da su strane svakoga rompskoga dodekaedra rombovi kojima je omjer dijagonala \sqrt{2}:1. Zbog toga je novootkriveni rompski dodekaedar nazvan prema profesoru Bilinskom, čime je svjetska matematička zajednica dala (još jedno) zasluženo priznanje istaknutim hrvatskim matematičarima. Zainteresiranoga čitatelja upućujemo na članak [6].

Slika 4: Dodekaedar Bilinskoga


6Zlatni romb - konstrukcije u GeoGebri

Konstrukcije koje su opisane u ovom članku jednostavno je izvesti u GeoGebri. Primjeri koje su izradili autori članka dostupni su na Internetu zajedno s uputama namijenjenima korisnicima, i to:
1) Primjer za pravokutni trokut kojemu je omjer duljina kateta jednak zlatnom broju, odnosno konstrukciju opisanu u Zadatku 2:
https://www.geogebra.org/m/WnUqk86T
2) Primjer za zlatni romb kojemu je zadana duljina veće dijagonale, odnosno konstrukciju opisanu u Zadatku 4:
https://www.geogebra.org/m/X6eSRuMQ
3) Primjer za zlatni romb kojemu je zadana duljina manje dijagonale, odnosno konstrukciju opisanu u Zadatku 5:
https://www.geogebra.org/m/tqAUNwM6
4) Primjer za zlatni romb kojemu je zadana duljina stranice, odnosno konstrukciju opisanu u Zadatku 7:
https://www.geogebra.org/m/rsksFeGv
U istom primjeru pokazana je i konstrukcija zlatnoga romba kojemu je duljina stranice \sqrt{5} jediničnih dužina, odnosno konstrukcija opisana u Zadatku 6.



7Zaključak

U ovom smo članku izložili još jednu od mnogobrojnih primjena zlatnoga reza u geometriji. Definirali smo pojam zlatnoga romba, naveli njegova osnovna svojstva i detaljno opisali moguće načine njegova konstruiranja. Pritom treba posebno istaknuti da su sve opisane konstrukcije izvodljive samo ravnalom i šestarom, a za dokazivanje njihove valjanosti posve je dovoljno poznavanje elementarne (srednjoškolske) geometrije.

I ovim radom nastojali smo dati svoj doprinos nastojanjima da se potpuno neopravdano zanemarene geometrijske teme uvrste u nastavne programe matematičkih predmeta na tehničkim stručnim studijima koji se izvode na našim veleučilištima i samostalnim visokim školama. Uvjereni smo da bi takve teme vrlo pozitivno utjecale na zanimljivost tih predmeta, a samim time i na popularizaciju matematike, odnosno nastavak "razbijanja" tradicionalnih stereotipa o matematici kao "bauku".

Bibliografija
[1] M. Katić Žlepalo, B. Kovačić: O zlatnom trokutu, Math.e, Hrvatsko matematičko društvo, Zagreb, 2017.
[2] B. Pavković, D. Veljan: Elementarna matematika 1, školska knjiga, Zagreb, 2004.
[3] B. Pavković, D. Veljan: Elementarna matematika 2, školska knjiga, Zagreb, 1994.
[4] E. W. Weisstein: Golden Rhombus, (javno dostupno na: http://mathworld.wolfram.com/GoldenRhombus.html 15.8.2017.)
[5] A. Bogomolny: Golden Ratio via Golden Rhombus (javno dostupno na: http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/GoldenRatioMolokach.shtml, 15.8.2017.)
[6] B. Gruenbaum: The Bilinski dodecahedron and assorted parallelohedra, zonohedra, monohedra, isozonohedra, and otherhedra, The Mathematical Intelligencer, 32 (4), 2010.
 

 

  • Share this

24. broj časopisa math.e

Dragi čitatelji,

Objavljen je dvadeset i četvrti broj hrvatskog matematičkog elektroničkog časopisa math.e, koji izdaje Hrvatsko matematičko društvo uz podršku Ministarstva znanosti, obrazovanja i sporta.

U ovom broju objavljen je članak Prigušivanje mehaničkih vibracija, K. Burazina, Z. Tomljanovića i I. Vuksanović sa Svučilišta Josipa Juraja Strossmayera iz Osijeka. Rad daje zanimljiv prikaz problema gušenja neželjenih vibracija u mehaničkim sustavima. Posebna značajka ovog članka je razmatranje niza primjera iz svakodnevnog života gdje se pojavljuje potreba gušenja neželjenih vibracija. Za stanovnike juga Hrvatske, bit će zanimljivo pročitati da su takve tehnike korištene za povećavanje sigurnosti konstrukcije mosta Dr. Franje Tuđmana u Dubrovniku.

U radu Decimalna točka – pjesmica i apleti, Antonija Horvatek, učiteljica-savjetnica OŠ Josipa Badalića, Graberje Ivaničko daje primjer kako se sustav GeoGebra može koristiti u nastavi matematike u osnovnoj školi. Pored niza java apleta A. Horvatek te članka koji opisuje njihov nastanak, objavljuje i matematičku pjesmicu kojom se na vrlo kreativan način pojam decimalne točke objašnjava učenicima osnovnih škola. Za potpuno čitanje ovog članka u vašem pregledniku potrebno je aktivirati mogućnost izvršavanja Java apleta, npr za FireFox to je opisano ovdje a za Internet Explorer ovdje postupak za ostale preglednike je analogan navedenim postupcima.

U radu Dekompozicija matrice na singularne vrijednosti, A Novak Sveučilište u Dubrovniku i D. Pavlović, AVL-AST d.o.o., Zagreb daju primjer kako razviti i ubrzati sustav prepoznavanja rukom pisanih brojeva metodama računarskog vida. Dvije su komponente prezentiranog algoritma bitne. Smanjenje dimenzije problema i uklanjanje neželjene varijacije u snimljenim rukom pisanim brojevima. Način rada algoritma je prezentiran na primjeru kolekcije rukom pisanih brojeva koju je skupila američka poštanska služba. Ovaj primjer je poznat kao teški ogledni primjer za klasifikaciju podataka.

Želim vam svima ugodno čitanje novih članaka.

L. Grubišić,
glavni urednik

  • Share this

Decimalna točka - pjesma i apleti

Antonija Horvatek
 

učiteljica matematike,
  učitelj-savjetnik,
  Ivanić- Grad,
  http://www.antonija-horvatek.from.hr/

  OŠ Josipa Badalića,
  Graberje Ivanićko

 


U nastavi bilo kojeg predmeta, pa tako i matematike, poželjno je izmjenjivati razne oblike i metode rada, te nastavu učiniti što zanimljivijom. Izricanje raznih pravila, metoda i dr. u stihu i rimi također može pomoći povećanju zainteresiranosti, kao i lakšem pamćenju. U ovom članku donosimo pjesmu "Decimalna točka" koja opisuje što učimo u cjelini "Decimalni brojevi" u 5. razredu osnovne škole, a tu su i popratni apleti koji zorno predočavaju o čemu govore odgovarajuće strofe.

 

Primjena pjesme

Pjesma se u nastavi može koristiti na više načina. U 5. razredu, kad obrađujemo pojedine dijelove cjeline "Decimalni brojevi", nakon obrade možemo tražiti učenike da u pjesmi nađu dijelove koji govore o tome što smo danas učili, te da, nakon čitanja tih dijelova naglas, svojim riječima prepričaju isto i daju primjer. Možemo je koristiti i na početku (u uvodnom dijelu) sata, za vrijeme ponavljanja gradiva s prošlih satova, bilo na način da netko od učenika naglas čita pjesmu, te da nakon određenih strofa prekidamo čitanje i komentiramo, bilo na način da prvo bez pjesme nešto ponovimo, a zatim od učenika tražim da u pjesmi nađu dio koji o tome govori.
Učenicima možemo ponuditi i da pjesmu nauče napamet (oni koji to žele), a trud nagradimo ocjenom iz zalaganja.
Nadalje, ako nakon pisanja višeminutnih provjera uočimo da neki učenik nešto nije savladao, za zadaću (između ostaloga) može dobiti i da odgovarajuće strofe nauči napamet.
Pjesmu možemo koristiti i nakon 5. razreda. Npr. na početku ove školske godine sam sedmašima, u sklopu ponavljanja na početku školske godine, podijelila papire na kojima je svaka strofa pjesme bila numerirana, te su za domaću zadaću trebali, za svaku strofu za koju se može, smisliti konkretan brojevni primjer koji pokazuje o čemu ta strofa govori.

Nastanak pjesme

Na smišljanje pjesme potaknula me moja učenica 7. razreda Jelena Vranić koja je smislila pjesmu istog naslova. I njena je pjesma pisana kao da se decimalna točka obraća učenicima, međutim u njoj nije bilo konkretnih opisa računskih operacija, svojstava i sl. Predložila sam joj da pokuša ubaciti i takve dijelove, međutim nije uspjela, pa sam ja krenula na smišljanje. Prvo sam imala želju samo doraditi njezinu pjesmu, te iskombinirati njezine i moje strofe (postale bismo koautorice). Međutim, kad sam krenula sa smišljanjem, iznenadila sam se koliko sam rima uspjela sastaviti, te je na kraju ispala samostalna pjesma.

Izrada apleta

Ideja o izradi apleta pojavila se naknadano. Na nju me navela strofa


"Desno od mene su decimale
koje opisuju dijelove male."


i činjenica da djeca jako teško prihvaćaju da decimalni dio, bez obzira koliko dug bio, predstavlja manje od jednog cijelog. Naime, oni su u vezi prirodnih brojeva naučili da je dulji broj (tj. broj s više znamenaka) ujedno i veći. Stoga i ovdje (nesvjesno) očekuju da, ako decimalni dio ima puno znamenaka, da predstavlja "nešto jako veliko". Iako se u nastavi trudim na razne načine vizualizirati pojam i veličinu desetinke, stotinke, tisućinke itd., odnosno decimalnog dijela, kroz razne tipove zadataka se vidi da mnogi učenici to jako teško shvaćaju. Stoga sam i ovdje odlučila dodati aplete koji će vizualizirati cijeli i decimalni dio, a onda se prirodno nametnulo pitanje mogu li i za ostale strofe napraviti odgovarajuće aplete. Tako je nastala ova kombinacija pjesme i apleta, koja se može koristiti za ponavljanje odnosno prisjećanje naučenog o decimalnim brojevima.

Apleti su rađeni u GeoGebri. Kod izrade apleta, jedini problem mi je stvaralo što GeoGebra nema mogućnost poravnanja dinamičkog teksta po decimalnoj točki. Stoga sam u apletima, koji prikazuju zbrajanje i oduzimanje decimalnih brojeva, morala "izvlačiti decimalu po decimalu", te svaku od tih varijabli posebno potpisivati jednu ispod druge (a ne jednostavno decimalni broj ispod decimalnog broja). Čak ako bi i postojala mogućnost poravnanja teksta po decimalnoj točki, pitanje je bi li to dovelo do potpisivanja odgovarajućih znamenaka jedne ispod druge, jer neke znamenke zauzimaju širi prostor, a neke uži, pa ako su točke i poravnate, ne znači da će i znamenke biti.

 

Pjesma i apleti

 

 

 

 

Decimalna točka

 

Draga djeco, ovo nije šala,

priču vam priča jedna točka mala.

 

Živim u svakom decimalnom broju

i ponosno ističem ulogu svoju.

 

Lijevo od mene cijeli je dio,

poput prirodnog broja rad' bi bio.

 

 

 

Desno od mene su decimale

koje opisuju dijelove male.

 

 

I u prirodnom se broju

decimalna točka skriva,

na desnome kraju,

istina je živa!

 

 

 

S decimalnim brojem k'o od šale

vršiti možeš izmjene male:

 

Iza decimalnog dijela

dopisat' možeš nule,

broj se time ne mijenja,

samo se piše dulje.

 

 

A nula na zadnjoj decimali

slobodno se briše,

tad broj ostaje isti

i kraće se piše.

 

 

 

Iako sam mala, svak' dobro zna,

u računima raznim važna sam ja:

 

 

Kad zbrajaš dva decimalna broja,

ispod mene dođe sestrica moja.

 

 

 

I kad oduzimaš, napravi slično,

stavi točku pod točku, ništa neobično!

 

 

 

Želiš li dva decimalna broja množiti,

brojeve decimala moraš zbrojiti.

 

 

 

A kod dijeljenja decimalnim brojem

do rezultata dolaziš teškim znojem:

prvo obje točke udesno preseli,

a zatim brojeve pažljivo podijeli.

 

 

 

Uz dekadske jedinice življa je igra,

tu postanem okretna poput tigra:

 

 

Kad me napadne množenje sa sto,

skočim za dva mjesta udesno.

 

 

 

A množenje s deset skroz mi je bijedno,

mičem se tad za mjesto jedno.

 

 

 

Kad znamenke fale, nema problema,

dopišeš nule bez dilema.

 

 

 

S dijeljenjem lako na zelenu granu,

kidam tad na lijevu stranu.

 

 

 

Mičem se tad za onoliko mjesta

koliko je nula u dekadskoj jedinici česta.

 

 

 

Nakon takve igre ostanem bez daha,

al' i dalje sam u formi, nemaš straha!

 

Tko sve ovo u malom prstu ima,

prva je liga i na ponos svima,

i vladar decimalnim brojevima.

 

Pjesmica i apleti:

Antonija Horvatek

 

 

  • Share this