Cantorov paradok dobio je ime po matematičaru Georgu Ferdinandu Ludwigu Phillipu Cantoru (1845. - 1918.), koji je najviše poznat kao tvorac Teorije skupova. Rasprave o paradoksima, koji imaju svoje osnove u Teoriji skupova, pojavile su se krajem 19. stoljeća. Cantorov paradoks nastao je 1899. godine kao posljedica Cantorova promišljanja: „Što je kardinalni broj skupa svih skupova?“. Jasno je bilo da to mora biti najveći mogući kardinalni broj. Jedno od najčešćih stajališta među matematičarima tog vremena jest da takvi paradoksi, uključujući i Russellov, pokazuju da nije moguć "naivni" ili neaksiomatski pristup teoriji skupova bez pojavljivanja kontradikcija, a sigurno je da su upravo takvi paradoksi bili jedan od motiva nastanka aksiomatske teorije skupova (Zermelo). Nadalje, kršćanski su teolozi, naprimjer, vidjeli Cantorov rad kao izazov za jedinstvenost apsolutne beskonačnosti Božje prirode.

Kardinalni broj

Postoje dvije osnovne metode prebrojavanja skupova. Jednu smo naučili još kao mala djeca - da bismo prebrojili objekte u nekom skupu, svakom objektu pridružimo naziv jednog prirodnog broja (jedna kuglica, dvije kuglice, tri kuglice,...). Druga i vjerojatno starija metoda uključuje direktno uspoređivanje članova dvaju skupova. Ako svaki objekt prvog skupa možemo pridružiti točno jednom objektu drugog skupa, skupovi imaju jednak broj elemenata. Jasno nam je da ovim metodama možemo odrediti broj elemenata konačnih skupova. Cantor je otišao korak dalje i iskoristio drugu metodu za uspoređivanje beskonačnih skupova, a veličinu skupa nazvao je kardinalni broj.

Kažemo da su dva skupa A i B ekvipotentni (istobrojni) ili bijektivni ako među njima postoji bijekcija.
Svakom skupu pridružujemo kardinalni broj card A, tako da svi ekvipotentni skupovi imaju isti kardinalni broj.

Naprimjer, skup prirodnih brojeva i skup parnih brojeva imaju jednak kardinalni broj jer možemo uspostaviti bijekciju: n \to 2n za svaki prirodni broj n. No, nisu svi beskonačni skupovi ekvipotentni.

Promotrimo partitivni skup, skup svih podskupova nekog skupa. Za skup

partitivni skup je

Lako se možemo uvjeriti da za skup od n elemenata partitivni skup ima 2^n elemenata (svaki element se ili nalazi ili ne nalazi u nekom podskupu, što nam daje 2^n različitih podskupova). Cantor je pokazao da za bilo koji skup A njegov partitivni skup ima veći kardinalni broj od A.