Curryjev paradoks
Curryjev paradoks dobio je ime po američkom matematičaru Haskellu Brooksu Curryju, koji je osim po kombinatornoj logici poznat i po tome što su i dva programska jezika dobila po njemu ime – Haskell i Curry.
Curryjev paradoks
Ako je ova rečenica istinita, sve rečenice su istinite.
Curryjev paradoks pojavljuje se u naivnoj teoriji skupova i logici, a dopušta izvod proizvoljne rečenice iz rečenice koja se poziva na samu sebe.
Za primjer uzmimo rečenicu:
Ako je ova rečenica istinita, mačke znaju pričati.
Znaju li mačke pričati? Pa, ako je gornja rečenica istinita, onda znaju. Iako možda ne vjerujemo da mačke pričaju ili da je gornja rečenica istinita, možemo se složiti da je izjava - ako je ova rečenica istinita, onda mačke znaju pričati - istina.
No, onda gornja rečenica jest istinita, dakle, mačke znaju pričati. Nadalje, tvrdnju da mačke pričaju možemo zamijeniti bilo kojom tvrdnjom.
Kako bismo do zaključka došli formalno, označimo s X tvrdnju da Y slijedi iz istinitosti X. To možemo zapisati kao X = (X \to Y). Dokaz slijedi:
| 1. | X \to X | |
| 2. | X \to (X \to Y) | supstitucija desne strane u 1, jer je X = (X \to Y) |
| 3. | X \to Y | iz 2, kontrakcijom |
| 4. | X | supstitucijom iz 3, jer X = (X \to Y) |
| 5. | Y | iz 4 i 3, modus ponens |
Do rezultata možemo doći i u naivnoj teoriji skupova. Neka je X = \lbrace x | (x \in x) \to Y \rbrace. Primijetimo da tada vrijedi: x \in X \Leftrightarrow ((x \in x) \to Y).
| 1. | X \in X \Leftrightarrow ((X \in X) \to Y) | definicija X |
| 2. | (X \in X) \to ((X \in X) \to Y) | iz 1 |
| 3. | (X \in X) \to Y | iz 2, kontrakcijom |
| 4. | ((X \in X) \to Y) \to (X \in X) | iz 1 |
| 5. | X \in X | iz 3 i 4, modus ponens |
| 6. | Y | iz 3 i 5, modus ponens |
Na ovaj način, bilo koja tvrdnja, bez obzira je li točna ili nije, može biti dokazana. Matematička logika općenito ne dopušta rečenice koje se pozivaju na same sebe, no paradoks se pojavljuje u gotovo svim prirodnim jezicima. Rješenje Curryjeva paradoksa je trajni problem jer su rješenja (osim onih trivijalnih koja direktno ne dopuštaju X) komplicirana i neintuitivna. Logičari nisu odlučni oko toga jesu li takve rečenice nedopustive (i ako da, kako ih zabraniti), ili su beznačajne, ili su točne i otkrivaju probleme u samom konceptu istine (i ako da, treba li koncept istine odbaciti ili promijeniti).
