Paradoks Montyja Halla

Problem Montyja Halla je vjerojatnosna zagonetka koja se temelji na igri u okviru američkog show programa „Let's Make a Deal“. Paradoks Montyja Halla dobio je ime po domaćinu showa, Montyju Hallu.

Zamislimo da u TV igri na sreću biramo jedna od triju zatvorenih vrata. Iza samo jednih nalazi se nagrada. Nakon što izaberemo vrata, voditelj otvori jedna od ostalih vrata, pokaže da iza njih nema nagrade, te nas pita želimo li promijeniti izbor. Imamo li veće šanse za pobjedu ako promijenimo izbor?

Budući da igrač ne zna koja od preostalih vrata kriju nagradu, većina će pretpostaviti da je svejedno koja od zatvorenih vrata izaberemo, te da nema razloga mijenjati izbor. U biti, u uobičajenoj interpretaciji problema (voditelj zna iza kojih vrata je nagrada i neće je pokazati), igrač bi trebao promijeniti izbor jer time šansu za pobjedu povećava s \frac{1}{3} na \frac{2}{3}.

Problem je u biti zabuna pri računanju vjerojatnosti otvaranja vrata s nagradom u danim uvjetima. Ovdje smo ga uvrstili zbog njegove popularnosti i činjenice da je čak i neke poznate matematičare bilo teško uvjeriti u točnost rješenja.

Kad je 1990. godine rješenje objavljeno u časopisu Parade, tisuće čitatelja poslale su žalbe tvrdeći da je objavljeni rezultat netočan. U odgovoru, autorica članka pozvala je sve nastavnike matematike u školama da s učenicima naprave sličan pokus sa šalicama i novčićem. Trebali su 200 puta odigrati situaciju pogađanja bez promjene nakon otkrivene prazne šalice, a zatim 200 puta s promjenom izbora.

Jedan način kako točno rješenje može postati više intuitivno je zamisliti isti slučaj sa 100 vrata, gdje nakon što izaberemo jedna, voditelj otvori još 98 i pokaže da iza njih nije nagrada. Sad se nekako čini da su ipak šanse da smo prvi put izabrali jedna od krivih vrata (vjerojatnost za to je 99%) i da je dobra ideja promijeniti odluku.

Pogledajmo jedno matematičko rješenje tog problema.

Rješenje s pomoću Bayesove formule

Zadatak: Zadana su vrata označena brojevima 1, 2 i 3. Iza jednih je nagrada. Pretpostavimo da smo izabrali vrata broj 1. Voditelj, koji zna gdje je nagrada i neće otvoriti ta vrata, otvori druga vrata. Tada nam ponudi da promijenimo prvi izbor. Hoće li u ovom trenutku promjena izbora povećati vjerojatnost pobjede?

Rješenje. Označimo događaje da je nagrada iza danih vrata s A_1, A_2 i A_3. Tada je P(A_1) = P(A_2) = P(A_3) = \frac{1}{3}. Radi jednostavnosti, pretpostavimo da smo već izabrali prva vrata. Označimo događaje da je voditelj otvorio jedna od zatvorenih vrata sa B_1, B_2 i B_3. Voditelj neće otvoriti vrata koja smo već izabrali, pa je P(B_1) = 0. Bez prethodnog znanja o mjestu nagrade, svakom od događaja B_2 i B_3 pridružit ćemo vjerojatnost 50%: P(B_2) = \frac{1}{2} i P(B_3) = \frac{1}{2}.

• Ako je nagrada iza vrata broj 1, voditelj slučajno bira između vrata 2 i 3: P(B_2|A_1) = \frac{1}{2} i P(B_3|A_1) = \frac{1}{2}.
• Ako je nagrada iza vrata broj 2, voditelj mora otvoriti vrata broj 3: P(B_2|A_2) = 0 i P(B_3|A_2) = 1.
• Ako je nagrada iza vrata broj 3, voditelj mora otvoriti vrata broj 2: P(B_2|A_3) = 1 i P(B_3|A_3) = 0.

Dakle, ako je voditelj izabrao vrata broj 2, po Bayesovoj formuli imamo:

Analogno dobijemo rješenje za B_3.

Vidimo kako je, ako voditelj otvori vrata broj 2, vjerojatnost da ćemo nagradu naći iza vrata 3, dvostruko veća od vjerojatnosti da ćemo je dobiti ako ostanemo pri starom izboru.

Originalna pitanja i odgovori iz časopisa Parade mogu se pročitati na web stranici Marilyn vos Savant.

Ovdje možete pogledati Javascript simulaciju paradoksa Montyja Halla.