Ključni pojmovi: vjerojatnost, statistika, Maxima, besplatni računalni program

U prvom semestru Politehničkog diplomskog specijalističkog stručnog studija graditeljstva Tehničkog veleučilišta u Zagrebu izvodi se predmet Vjerojatnost i statistika. Cilj tog predmeta je upoznati studente s osnovnim pojmovima vjerojatnosti i metodama za statističku obradu podataka. Fond sati tog predmeta je 15+13+2, od čega je 15 sati predviđeno za predavanja, 13 sati za auditorne vježbe, a 2 sata za laboratorijske vježbe koje se održavaju u računalnom laboratoriju. Teme predviđene nastavnim planom i programom odnose se na: klasičnu definiciju vjerojatnosti, operacije među događajima, uvjetnu i totalnu vjerojatnost, diskretne i kontinuirane slučajne varijable, statističku populaciju i slučajni uzorak, grafičko prikazivanje statističkih podataka, procjenitelje, intervalnu procjenu očekivanja i varijance te testiranje hipoteza. Do ove akademske godine u sklopu laboratorijskih vježbi zadaci su se rješavali pomoću MS Excela. Međutim, kako se od akademske godine 2015./2016. u sklopu predmeta Računarstvo u graditeljstvu, koji se izvodi u prvom semestru preddiplomskog stručnog studija graditeljstva, obrađuje program Maxima, ove akademske godine umjesto MS Excela koristili smo program Maxima. Osim na predmetu Vjerojatnost i statistika Maximu koristimo i u sklopu ostalih matematičkih predmeta koji se izvode na studijima graditeljstva Tehničkog veleučilišta u Zagrebu, o čemu smo pisali u [1].

Računalni program Maxima, besplatni je program koji se može preuzeti na web adresi http://maxima.sourceforge.net/. Općenito, program je pogodan za različite algebarske operacije sa simboličkim i numeričkim izrazima, kao što su deriviranje, integriranje, razvoj u Taylorov red, Laplaceova transformacija, sustavi linearnih jednadžbi, vektori, matrice, statistika itd.

U ovom članku prikazano je kako se pomoću programa Maxima mogu riješiti neki od zadataka koji se obrađuju u sklopu nastave predmeta Vjerojatnost i statistika.

U ovom dijelu rada dan je pregled i opis onih funkcija programa Maxima, koje koristimo u sklopu nastave predmeta Vjerojatnost i statistika. To su funkcije iz paketa descriptive, distrib i stats.

Paket descriptive sadrži funkcije deskriptivne statistike i funkcije za grafički prikaz podataka. Sljedeće funkcije samo su neke od dostupnih funkcija ovog paketa. Njihov argument x može biti lista ili matrica.

Paket distrib sadrži funkcije za izračun vjerojatnosti diskretnih i kontinuiranih univarijatnih modela. Dalje su opisane one funkcije koje se odnose na slučajne varijable s normalnom odnosno binomnom razdiobom.

Paket stats sadrži funkcije za izvođenje zaključaka o populaciji na temelju svojstava uzorka.

Prije zadavanja bilo koje funkcije iz navedenih paketa potrebno je učitati odgovarajući paket i to jednom od naredbi: load("descriptive")$, load("distrib")$ ili load("stats")$. Unutar jednog radnog lista paket je dovoljno učitati jednom bez obzira koliko se funkcija iz njega poziva. Više o ovim i ostalim funkcijama dostupnim u navedenim paketima može se pronaći u [2].

U ovom poglavlju dani su primjeri zadataka i njihova rješenja koji se rješavaju u sklopu auditornih ("ručnim" putem) i laboratorijskih vježbi (upotrebom računalnog programa) na predmetu Vjerojatnost i statistika. Budući da se zbog ograničena vremena na laboratorijskim vježbama ne stigne u sklopu zadataka ponavljati teorijska podloga, rješavamo iste zadatke kao i na auditornim vježbama. Na taj način ne "trošimo" vrijeme na razumijevanje teksta zadatka i postavljanje problema, već su studenti usmjereni na razumijevanje naredbi programa Maxima i interpretaciju dobivenih rezultata. Najčešći problem s kojim se susrećemo na laboratorijskim vježbama vezan je uz poznavanje sintakse programa odnosno uz ispravan unos početnih podataka i interpretaciju dobivenih rezultata.

Za slučajnu varijablu X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), slučajna varijabla sa standardnom normalnom razdiobom je X^{*} =\frac{X-\mu}{\sigma}, a vjerojatnost da normalno distribuirana slučajna varijabla X poprimi vrijednosti unutar segmenta \left[a, b\right] je

Podintegralna funkcija f^{*}(x) je funkciju gustoće vjerojatnosti standardne normalne razdiobe ([3]). Vrijednosti funkcija F^{*} i f^{*}(x) čitaju se iz odgovarajućih tablica (vidjeti tablice u [4]).
Stoga, primjenom formule 1 vjerojatnost da godišnja količina oborina bude između 235 i 260 je:

U programu Maxima vrijednosti funkcije F^{*}(x) mogu se izračunati, i to nešto preciznije, na sljedeći način. Najprije izračunamo vrijednosti \frac{a-\mu}{\sigma} i \frac{b-\mu}{\sigma} unošenjem naredbi:

Nakon što stisnemo zajedno tipke SHIFT+ENTER Maxima će ispisati:

Za izračun vrijednosti funkcije F^{*} koristimo funkciju cdf_normal(x,m,s), gdje x odgovara vrijednosti \frac{X-\mu}{\sigma}, \texttt{m}=0 i s=1. U novi red unesemo naredbu za učitanje paketa distrib, a potom zadamo odgovarajuću naredbu.

Kao izlaz zadane naredbe Maxima će ispisati:

Za binomno distribuiranu slučajnu varijablu X \sim B\left(n, p\right) funkcija vjerojatnosti dana je izrazom

gdje je n proizvoljan prirodan broj, k\leq n prirodan broj i p(0\lt p\lt 1) realan broj ([3]).
Vjerojatnost da se pogodi cilj barem 2 puta, uključuje događaje da se cilj pogodi dva ili tri ili četiri,..., ili deset puta. U ovom slučaju jednostavnije je izračunati vjerojatnost suprotnog događaja, koji uključuje događaje da se cilj nije pogodio te da se pogodio jednom. Stoga, primjenom formule 2 tražena vjerojatnost iznosi:

U programu Maxima ovo možemo izračunati unošenjem sljedećih naredbi:

Izlaz ove naredbe je:

Test-statistika

ima Studentovu t-razdiobu s n-1 stupnjeva slobode. Za određivanje vrijednosti test-statistike potrebno je odrediti aritmetičku sredinu i korigiranu standardnu devijaciju:

Tada test-statistika iznosi:

Digresija: Vrijednosti aritmetičke sredine i standardne devijacije u programu Maxima mogu se izračunati na sljedeći način:

Izlazi ovih naredbi su:

Postavljamo hipoteze

Za ovako postavljene hipoteze kritično područje ili područje odbacivanja hipoteze H_{0} je \left[-\infty,t_{\alpha}\right\rangle. Vrijednost t_{\alpha} odredimo iz tablice Studentove t-razdiobe za n-1=11 stupnjeva slobode (vidjeti tablicu u [4] na stranici 231.):

odnosno kritično područje je \left\langle -\infty, -1.85955 \right\rangle\,. Kako vrijednost test-statistike t ne upada u kritično područje prihvaćamo hipotezu H_{0}, te odbacujemo hipotezu H_{1}, na razini značajnosti od 5\%. Prema tome, možemo reći da stroj ne proizvodi ploče debljine manje od propisanih 9.5 mm.

Zadatak ćemo u programu Maxima riješiti tako da ćemo prvo učitati paket stats, definirat ćemo skup podataka te potom zadati naredbu za lijevi jednostrani test. To činimo na sljedeći način:

Napomena: 'conflevel=0.95 je razina pouzdanosti i njegova vrijednost jednaka je 1-\alpha.

Maxima će rezultat zadane naredbe ispisati u obliku:

Na temelju dobivenih rezultata odgovor o odbacivanju ili prihvaćanju hipoteze H_{0} dajemo na temelju p-vrijednosti testa. Kako na auditornim vježbama, kao što je prethodno prikazano, odgovor o prihvaćanju hipoteze H_{0} dajemo na temelju vrijednosti test-statistike i kritičnog područja te se pojam p-vrijednosti ne spominje, ovdje je potrebno studentima dodatno pojasniti što ona predstavlja.
U slučaju lijevog jednostranog t-testa p-vrijednost jednaka je p=\mathbb{P}\left(T\leq \left.t \right|H_{0}\right), desnog jednostranog testa jednaka je p=\mathbb{P}\left(T \geq \left.t \right|H_{0}\right), dok je kod dvostranog testa p-vrijednost manja od brojeva 2\cdot \mathbb{P}\left(T\leq \left.t \right|H_{0}\right) i 2\cdot \mathbb{P}\left(T \geq \left.t \right|H_{0}\right). Na temelju p-vrijednosti možemo dati sljedeće zaključke:

U našem slučaju je p=0.96\gt 0.05, pa stoga hipotezu H_{0} prihvaćamo na razini značajnosti od 0.05.

Interval povjerenja za očekivanje s nepoznatom varijancom i pouzdanošću \gamma je

gdje je t_{\frac{1+\gamma}{2}} kvantil Studentove t-razdiobe s n-1 stupnjeva slobode.
Vrijednost kvantila t_{\frac{1+\gamma}{2}} odredimo iz tablice Studentove t-razdiobe za n-1=11 stupnjeva slobode (vidjeti tablicu u [4] na stranici 231.):

Tada je interval povjerenja na temelju formule 3 jednak:

U programu Maxima interval povjerenja određuje se pomoću naredbe za određivanje dvostranog t-testa. U novi red unesemo naredbu:

Maxima će rezultat zadane naredbe ispisati u obliku:

Sada je u četvrtom redu ispisan interval povjerenja za očekivanje s nepoznatom varijancom s pouzdanošću od 95\%.

Od akademske godine 2015./2016. na stručnom studiju graditeljstva Tehničkog veleučilišta u Zagrebu računalni program Maxima obrađuje se u sklopu predmeta Računarstvo u graditeljstvu. U posljednje tri godine pokazalo se da ga studenti s lakoćom savladavaju te da ga uspješno primjenjuju u rješavanju zadataka u sklopu ostalih matematičkih predmeta (bilo na nastavi ili samostalno u sklopu seminarskih radova). Iz tog razloga, ali i zato što imamo mali broj sati predviđen za rad na računalu iz predmeta Vjerojatnost i statistika, odlučili smo se koristiti program Maxima, a ne neki, možda, prikladniji program za statističku obradu podataka (R, SPS i sl.).

U ovom trenutku postoje prijedlozi da se broj laboratorijskih vježbi poveća. Na taj način imali bi mogućnost raditi s oba programa, Excelom (kojeg smo do ove godine koristili) i Maximom. Iako se pokazalo da program Maxima u potpunosti zadovoljava sve nastavne potrebe matematičkih predmeta, koji se izvode na studijima graditeljstva, Excel je program koji će studenti u svom budećem poslu koristiti na svakodnevnoj razini i stoga je dobro u što većoj mjeri i u što različitije svrhe koristiti ga u sklopu nastave.