Ključni pojmovi: vjerojatnost, statistika, Maxima, besplatni računalni program

U prvom semestru Politehničkog diplomskog specijalističkog stručnog studija graditeljstva Tehničkog veleučilišta u Zagrebu izvodi se predmet Vjerojatnost i statistika. Cilj tog predmeta je upoznati studente s osnovnim pojmovima vjerojatnosti i metodama za statističku obradu podataka. Fond sati tog predmeta je 15+13+2, od čega je 15 sati predviđeno za predavanja, 13 sati za auditorne vježbe, a 2 sata za laboratorijske vježbe koje se održavaju u računalnom laboratoriju. Teme predviđene nastavnim planom i programom odnose se na: klasičnu definiciju vjerojatnosti, operacije među događajima, uvjetnu i totalnu vjerojatnost, diskretne i kontinuirane slučajne varijable, statističku populaciju i slučajni uzorak, grafičko prikazivanje statističkih podataka, procjenitelje, intervalnu procjenu očekivanja i varijance te testiranje hipoteza. Do ove akademske godine u sklopu laboratorijskih vježbi zadaci su se rješavali pomoću MS Excela. Međutim, kako se od akademske godine 2015./2016. u sklopu predmeta Računarstvo u graditeljstvu, koji se izvodi u prvom semestru preddiplomskog stručnog studija graditeljstva, obrađuje program Maxima, ove akademske godine umjesto MS Excela koristili smo program Maxima. Osim na predmetu Vjerojatnost i statistika Maximu koristimo i u sklopu ostalih matematičkih predmeta koji se izvode na studijima graditeljstva Tehničkog veleučilišta u Zagrebu, o čemu smo pisali u [1].

Računalni program Maxima, besplatni je program koji se može preuzeti na web adresi http://maxima.sourceforge.net/. Općenito, program je pogodan za različite algebarske operacije sa simboličkim i numeričkim izrazima, kao što su deriviranje, integriranje, razvoj u Taylorov red, Laplaceova transformacija, sustavi linearnih jednadžbi, vektori, matrice, statistika itd.

U ovom članku prikazano je kako se pomoću programa Maxima mogu riješiti neki od zadataka koji se obrađuju u sklopu nastave predmeta Vjerojatnost i statistika.

U ovom dijelu rada dan je pregled i opis onih funkcija programa Maxima, koje koristimo u sklopu nastave predmeta Vjerojatnost i statistika. To su funkcije iz paketa descriptive, distrib i stats.

Paket descriptive sadrži funkcije deskriptivne statistike i funkcije za grafički prikaz podataka. Sljedeće funkcije samo su neke od dostupnih funkcija ovog paketa. Njihov argument x može biti lista ili matrica.

Paket distrib sadrži funkcije za izračun vjerojatnosti diskretnih i kontinuiranih univarijatnih modela. Dalje su opisane one funkcije koje se odnose na slučajne varijable s normalnom odnosno binomnom razdiobom.

Paket stats sadrži funkcije za izvođenje zaključaka o populaciji na temelju svojstava uzorka.

Prije zadavanja bilo koje funkcije iz navedenih paketa potrebno je učitati odgovarajući paket i to jednom od naredbi: load("descriptive")$, load("distrib")$ ili load("stats")$. Unutar jednog radnog lista paket je dovoljno učitati jednom bez obzira koliko se funkcija iz njega poziva. Više o ovim i ostalim funkcijama dostupnim u navedenim paketima može se pronaći u [2].

U ovom poglavlju dani su primjeri zadataka i njihova rješenja koji se rješavaju u sklopu auditornih ("ručnim" putem) i laboratorijskih vježbi (upotrebom računalnog programa) na predmetu Vjerojatnost i statistika. Budući da se zbog ograničena vremena na laboratorijskim vježbama ne stigne u sklopu zadataka ponavljati teorijska podloga, rješavamo iste zadatke kao i na auditornim vježbama. Na taj način ne "trošimo" vrijeme na razumijevanje teksta zadatka i postavljanje problema, već su studenti usmjereni na razumijevanje naredbi programa Maxima i interpretaciju dobivenih rezultata. Najčešći problem s kojim se susrećemo na laboratorijskim vježbama vezan je uz poznavanje sintakse programa odnosno uz ispravan unos početnih podataka i interpretaciju dobivenih rezultata.

Za slučajnu varijablu X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right), slučajna varijabla sa standardnom normalnom razdiobom je X^{*} =\frac{X-\mu}{\sigma}, a vjerojatnost da normalno distribuirana slučajna varijabla X poprimi vrijednosti unutar segmenta \left[a, b\right] je

Podintegralna funkcija f^{*}(x) je funkciju gustoće vjerojatnosti standardne normalne razdiobe ([3]). Vrijednosti funkcija F^{*} i f^{*}(x) čitaju se iz odgovarajućih tablica (vidjeti tablice u [4]).
Stoga, primjenom formule 1 vjerojatnost da godišnja količina oborina bude između 235 i 260 je:

U programu Maxima vrijednosti funkcije F^{*}(x) mogu se izračunati, i to nešto preciznije, na sljedeći način. Najprije izračunamo vrijednosti \frac{a-\mu}{\sigma} i \frac{b-\mu}{\sigma} unošenjem naredbi:

Nakon što stisnemo zajedno tipke SHIFT+ENTER Maxima će ispisati:

Za izračun vrijednosti funkcije F^{*} koristimo funkciju cdf_normal(x,m,s), gdje x odgovara vrijednosti \frac{X-\mu}{\sigma}, \texttt{m}=0 i s=1. U novi red unesemo naredbu za učitanje paketa distrib, a potom zadamo odgovarajuću naredbu.

Kao izlaz zadane naredbe Maxima će ispisati:

Za binomno distribuiranu slučajnu varijablu X \sim B\left(n, p\right) funkcija vjerojatnosti dana je izrazom

gdje je n proizvoljan prirodan broj, k\leq n prirodan broj i p(0\lt p\lt 1) realan broj ([3]).
Vjerojatnost da se pogodi cilj barem 2 puta, uključuje događaje da se cilj pogodi dva ili tri ili četiri,..., ili deset puta. U ovom slučaju jednostavnije je izračunati vjerojatnost suprotnog događaja, koji uključuje događaje da se cilj nije pogodio te da se pogodio jednom. Stoga, primjenom formule 2 tražena vjerojatnost iznosi:

U programu Maxima ovo možemo izračunati unošenjem sljedećih naredbi:

Izlaz ove naredbe je:

Test-statistika

ima Studentovu t-razdiobu s n-1 stupnjeva slobode. Za određivanje vrijednosti test-statistike potrebno je odrediti aritmetičku sredinu i korigiranu standardnu devijaciju:

Tada test-statistika iznosi:

Digresija: Vrijednosti aritmetičke sredine i standardne devijacije u programu Maxima mogu se izračunati na sljedeći način:

Izlazi ovih naredbi su:

Postavljamo hipoteze

Za ovako postavljene hipoteze kritično područje ili područje odbacivanja hipoteze H_{0} je \left[-\infty,t_{\alpha}\right\rangle. Vrijednost t_{\alpha} odredimo iz tablice Studentove t-razdiobe za n-1=11 stupnjeva slobode (vidjeti tablicu u [4] na stranici 231.):

odnosno kritično područje je \left\langle -\infty, -1.85955 \right\rangle\,. Kako vrijednost test-statistike t ne upada u kritično područje prihvaćamo hipotezu H_{0}, te odbacujemo hipotezu H_{1}, na razini značajnosti od 5\%. Prema tome, možemo reći da stroj ne proizvodi ploče debljine manje od propisanih 9.5 mm.

Zadatak ćemo u programu Maxima riješiti tako da ćemo prvo učitati paket stats, definirat ćemo skup podataka te potom zadati naredbu za lijevi jednostrani test. To činimo na sljedeći način:

Napomena: 'conflevel=0.95 je razina pouzdanosti i njegova vrijednost jednaka je 1-\alpha.

Maxima će rezultat zadane naredbe ispisati u obliku:

Na temelju dobivenih rezultata odgovor o odbacivanju ili prihvaćanju hipoteze H_{0} dajemo na temelju p-vrijednosti testa. Kako na auditornim vježbama, kao što je prethodno prikazano, odgovor o prihvaćanju hipoteze H_{0} dajemo na temelju vrijednosti test-statistike i kritičnog područja te se pojam p-vrijednosti ne spominje, ovdje je potrebno studentima dodatno pojasniti što ona predstavlja.
U slučaju lijevog jednostranog t-testa p-vrijednost jednaka je p=\mathbb{P}\left(T\leq \left.t \right|H_{0}\right), desnog jednostranog testa jednaka je p=\mathbb{P}\left(T \geq \left.t \right|H_{0}\right), dok je kod dvostranog testa p-vrijednost manja od brojeva 2\cdot \mathbb{P}\left(T\leq \left.t \right|H_{0}\right) i 2\cdot \mathbb{P}\left(T \geq \left.t \right|H_{0}\right). Na temelju p-vrijednosti možemo dati sljedeće zaključke:

U našem slučaju je p=0.96\gt 0.05, pa stoga hipotezu H_{0} prihvaćamo na razini značajnosti od 0.05.

Interval povjerenja za očekivanje s nepoznatom varijancom i pouzdanošću \gamma je

gdje je t_{\frac{1+\gamma}{2}} kvantil Studentove t-razdiobe s n-1 stupnjeva slobode.
Vrijednost kvantila t_{\frac{1+\gamma}{2}} odredimo iz tablice Studentove t-razdiobe za n-1=11 stupnjeva slobode (vidjeti tablicu u [4] na stranici 231.):

Tada je interval povjerenja na temelju formule 3 jednak:

U programu Maxima interval povjerenja određuje se pomoću naredbe za određivanje dvostranog t-testa. U novi red unesemo naredbu:

Maxima će rezultat zadane naredbe ispisati u obliku:

Sada je u četvrtom redu ispisan interval povjerenja za očekivanje s nepoznatom varijancom s pouzdanošću od 95\%.

Od akademske godine 2015./2016. na stručnom studiju graditeljstva Tehničkog veleučilišta u Zagrebu računalni program Maxima obrađuje se u sklopu predmeta Računarstvo u graditeljstvu. U posljednje tri godine pokazalo se da ga studenti s lakoćom savladavaju te da ga uspješno primjenjuju u rješavanju zadataka u sklopu ostalih matematičkih predmeta (bilo na nastavi ili samostalno u sklopu seminarskih radova). Iz tog razloga, ali i zato što imamo mali broj sati predviđen za rad na računalu iz predmeta Vjerojatnost i statistika, odlučili smo se koristiti program Maxima, a ne neki, možda, prikladniji program za statističku obradu podataka (R, SPS i sl.).

U ovom trenutku postoje prijedlozi da se broj laboratorijskih vježbi poveća. Na taj način imali bi mogućnost raditi s oba programa, Excelom (kojeg smo do ove godine koristili) i Maximom. Iako se pokazalo da program Maxima u potpunosti zadovoljava sve nastavne potrebe matematičkih predmeta, koji se izvode na studijima graditeljstva, Excel je program koji će studenti u svom budećem poslu koristiti na svakodnevnoj razini i stoga je dobro u što većoj mjeri i u što različitije svrhe koristiti ga u sklopu nastave.

Ključne riječi: matrice, operacije s matricama, sustavi linearnih jednadžbi, matrični kalkulator



Sažetak

Matrice u visokoškolskoj matematici nezaobilazni su dio sadržaja kojeg studenti moraju savladati. Shvaćanje pojma matrica ne predstavlja velik problem za studente kao ni operacije transponiranja, zbrajanja i oduzimanja. Problemi nastaju kod množenja, traženja inverza i rješavanja sustava linearnih jednadžbi primjenom Gaussove metode transformacija. Matrix Reshish je mrežna stranica koja je prilagođena za korištenje putem mobilnih uređaja, a sadrži matrični kalkulator. Kalkulator je koncipiran tako da daje rješenje postavljenog zadatka korak po korak, što uvelike olakšava studentu uvježbavanje rješavanja zadatka.

U brojnim se slučajevima zbog preglednosti podaci zapisuju u tablicama. Ako se s takvim tablicama mogu izvoditi određene računske operacije, onda se one zovu matricama. Zapisivanje podataka pomoću matrica omogućuje kodiranje različitih oblika njihove povezanosti i potom ispitivanje postoji li među određenim objektima neka od mogućih veza. Matrice se između ostalog koriste za zapisivanje i obradu podataka, za različito modeliranje u ekonomici, u kompjutorskoj grafici itd. [str. 69]- [4].

Linearna algebra pomoću matrica omogućuje:

Matrice se mogu množiti samo ako prva od njih ima toliko stupaca koliko druga ima redaka, pri čemu se kao rezultat dobije matrica koja ima redaka kao i prva, a stupaca kao druga matrica. Dakle, matrica C_{(m,p)} koja je umnožak dviju matrica može se dobiti samo ako te dvije matrice imaju oblik A_{\left(m,n\right)} i B_{(n,p)}, to jest

Osnovno pravilo množenja matrica je da na mjesto (i, j) u umnošku matrica dolazi umnožak i-tog retka prve matrice i j-tog stupca druge matrice. Taj umnožak se računa po elementima tako da se pomnoži prvi element i-tog retka s prvim elementom j-tog stupca, drugi element i-tog retka s drugim elementom j-tog stupca itd. Na kraju se vrijednost elementa (i, j) dobije tako da sve te umnoške zbrojimo. To možemo prikazati na sljedeći način:

c_{ij} =\sum _{k=1}^{n}a_{ik} b_{kj} ,i\in \left\lbrace 1,2,3,...,m\right\rbrace ;j\in \left\lbrace 1,2,3,...,n\right\rbrace [str. 199]- [5].

Studenti s lakoćom znaju prepoznati koje matrice mogu množiti, a koje ne. Najčešća greška koju rade kod množenja matrica je da krenu s množenjem i-tog retka prve matrice i j-tog stupca druge matrice za prva dva retka matrice, a zatim nastave množenje tako da stupac množe retkom. Isto tako, često pogriješi kod samog množenja i predznaka umnoška. Kod kvadriranja matrice studenti najčešće svaki element matrice kvadriraju i ne koriste pravilo za umnožak dviju matrica, odnosno

Kod traženja inverza matrice najčešće će se koristiti determinantama, a rijetko kada svođenjem na reducirani oblik pomoću elementarnih transformacija:

koje se koriste u Gaussovom postupku. Elementarnim transformacijama dolazi se do jedinične matrice s lijeve strane proširene matrice. To zahtijeva kreativnost i predviđanje bar dva koraka unaprijed što će se dogoditi s matricom, a studenti najčešće ne znaju ni kako započeti rješavanje zadatka pogotovo ako su svi elementi u prvom stupcu različiti od jedan.

Kalkulatori koje studenti najčešće imaju omogućavaju rješavanje osnovnih računskih operacija s matricama do reda 3\times 3. I oni daju rješenje postavljenog problema bez postupka kojim se došlo do tog rješenja. Upravo zbog toga studenti kalkulatorima i kontrolom rješenja u zbirkama zadataka mogu pronaći samo točno rješenje, ali ako su pogriješili ne mogu pronaći grešku i najčešće odustaju od potrage za rješenjem. Kako bi studenti savladali ishode učenja o matricama i sustavima linearnih jednadžbi, a time i položili predmet kojeg su slušali, može im pomoći matrični kalkulator na Internet stranici http://matrix.reshish.com/ i http://matrix.reshish.com/.

Matrix Reshish [9] je mrežna stranica s besplatnim online matričnim kalkulatorom. Algoritam kojeg koristi Matrix Reshish temelji se na Binet-Cauchyevom teoremu1 i LU rastavu2. Zbog toga je numerički stabilan, a složenost mu je \mathcal{O}=n^{3}. Reshish Matrix kalkulator omogućava izračunavanje svih osnovnih matričnih operacija i metoda koje se koriste za rješavanje sustava linearnih jednadžbi (tablica 1).

\eject Tablica 1. Popis metoda i operacija nad matricama koje omogućava Reshish Matrix kalkulator
 

Izvor: autori

Matrix Reshish omogućava ne samo rješenje postavljenog problema, nego i detaljan proces rješavanja, korak po korak, u nizu jednostavnih tablica. Ovaj način prikaza rješenja omogućava korištenje ovog alata za učenje i poučavanje. Za svaku metodu i operaciju koja se koristi dano je objašnjenje. Postoji mobilna verzija mrežne stranice, odnosno stranica je prilagođena korištenju na mobilnim uređajima. Sve mogućnosti kalkulatora moguće je koristiti ukoliko postoji Internet veza. Svaka od ovih opcija koje nudi matrični kalkulator vrlo je jednostavan i intuitivan za korištenje kako će se i vidjeti u daljnjem tekstu na primjeru Cramerovog pravila, traženja inverza matrice i množenja matrica.

Zbog lakšeg praćenja načina rješavanja tijekom objašnjavanja korištenja Kalkulatora za Cramerovo pravilo rješavat će se sustav tri jednadžbe s tri nepoznanice

čija su rješenja x_{1} =2,x_{2} =0 i x_{3} =-1.

Klikom na Cramer's Rule u padajućem izborniku na mrežnoj stranici može se izračunati rješenje sustava linearnih jednadžbi pomoću Cramerovog pravila (slika 1).

Slika 1. Izgled Cramer's Rule Calculator


 

Izvor: autori

Otvaranjem Cramer's Rule Calculator prvo treba odabrati red kvadratne matrice (Matrix dimension). Kalkulator izračunava rješenja sustava do 100 jednadžbi s 100 nepoznanica (slika 2).

Slika 2. Odabir dimenzije sustava




 

Izvor: autori

Klikom na Set matrix pojavljuje se novi prozor u kojem možemo vratiti sustav koji smo prethodno računali klikom na Restore Matrix. Ukoliko rješava sustav koji ima koeficijente kompleksne brojeve potrebno je kliknuti na Complex numbers. U padajućem izborniku Fractional postoji mogućnost odabira zapisa rješenja koje može biti u obliku razlomka ili decimalnog broja. U tablici svaki redak \left(1,2,3\right) predstavlja jednadžbu, a stupac nepoznanice jednadžbi \left(X_{1} ,X_{2} ,X_{3} \right). U ćeliji koja je presjek stupca X_{1} i retka 1 upisuje se koeficijent prve jednadžbe koji se nalazi uz prvu nepoznanicu x_{1}, u ćeliji koja je presjek stupca X_{2} i retka 1 upisuje se koeficijent prve jednadžbe koji se nalazi uz drugu nepoznanicu x_{2}, u ćeliji koja je presjek stupca X_{3}i retka 1 upisuje se koeficijent prve jednadžbe koji se nalazi uz treću nepoznanicu x_{3}i u presjek 1. retka i stupca bupisuje se slobodan član prve jednadžbe. Na isti način se popunjavaju ostali redovi (slika 3).

Slika 3. Upis koeficijenata zadanog sustava jednadžbi




 

Izvor: autori

Reset omogućava brisanje svih podataka koji su unijeti. Fill empty cells with zero omogućava popunjavanje praznih ćelija s nulama, odnosno potrebno je u tablicu unijeti samo koeficijente različite od nule. Klikom na Solve dobiva se rješenje sustava.



Slika 4. Prikaz rješenja sustava

Izvor: autori

Rješenje se prikazuje u standardnom obliku za svaku nepoznanicu. U donjem desnom uglu prikazat će se vrijeme potrebno za traženje rješenja zadanog sustava linearnih jednadžbi, a klikom na Show solution prikazat će se korak po korak koji je računat kako bi se došlo do rješenja (slika 4).



Slika 5. Prikaz detaljnog rješenja




 

Izvor: autori

U detaljnom rješenju prikazane su sve matrice čije se determinante određuju i kvocijent određenih determinanti kako bi se dobilo rješenje (slika 5). Iza svakog zapisa matrice i pripadne determinante postoji opcija Very detailed solution. Klikom na Calculate apart prikazat će se u novom prozoru izračun odabrane determinante.

Slika 6. Prikaz izračuna determinante
 

Izvor: Autori

Izračun determinante provodi se svođenjem matrice na gornjotrokutastu matricu pomoću elementarnih transformacija i primjene svojstva da je determinanta trokutaste matrice jednaka umnošku elemenata na glavnoj dijagonali (slika 6).

Ukoliko je za uneseni sustav linearnih jednadžbi determinanta glavne matrice, odnosno matrice koja se sastoji od koeficijenata uz nepoznanice sustava linearnih jednadžbi, jednaka nuli, program upućuje na Gauss-Jordanove eliminacije kako bi se dobilo rješenje sustava ukoliko ih ima beskonačno (slika 7).

Slika 7. Rješenje se ne može dobiti primjenom Cramer's Rule Calculator


 

Izvor: autori

Klikom na Show soulution prikazat će se izračun determinante čija je vrijednost nula.

Zbog lakšeg praćenja načina rješavanja tijekom objašnjavanja korištenja Kalkulatora za inverz matrica tražit će se inverz matrice

Klikom na Inverse Matrix u padajućem izborniku na mrežnoj stranici možete izračunati inverz matrice (slika 8).


Slika 8. Izgled Inverse Matrix kalkulatora




 

Izvor: Autori

Otvaranjem Inverse Matrix Calculator prvo morate odabrati red kvadratne matrice (Matrix dimension). Kalkulator izračunava invez matrice do 100-tog reda. Klikom na Set matrix pojavljuje se novi prozor u kom se upisuju elementi matrice.



Slika 9. Upis matrice


 

Izvor: Autori

Novi prozor za upis elemenata matrice ima sve opcije (Restore matrix, Complex numbers, Reset, Fill empty cells with zero, Calculate) koje su opisane kod Cramer's Rule Calculatora. Novost je opcija Very detailed solution koja ispisuje korak po korak u traženju inverza elementarnim transformacijama (slika 9).

Slika 10. Prikaz rješenja




 

Izvor: autori

Prikaz rješenja je u matričnom obliku (slika 10). U donjem desnom uglu prikazat će se vrijeme potrebno za izračunavanje inverza, a klikom na Show solution prikazat će se korak po korak koji je računat kako bi se došlo do rješenja (slika 11).



Slika 11. Detaljan prikaz rješenja


 

Izvor: autori

U detaljnom prikazu rješenja svaka matrica popraćena je s riječima opisanom radnjom u tom koraku. Prvo je izračunata determinanta zadane matrice i provjereno je li ona različita od nule. Odabirom opcije Very detailed solution, odnosno klikom na Calculate apart prikazat će se u novom prozoru. Determinanta se izračunava svođenjem matrice na gornjotrokutastu matricu pomoću elementarnih transformacija i primjene svojstva da je determinanta trokutaste matrice jednaka umnošku elemenata na glavnoj dijagonali.

Zbog lakšeg praćenja u primjeru traži se umnožak matrica

A=\left[\begin{array}{cc} {\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {1} \end{array}} & {\begin{array}{c} {2} \\ {-2} \\ {1} \end{array}} \end{array}\right] i B=\left[\begin{array}{c} {\begin{array}{ccc} {2} & {0} & {-1} \end{array}} \\ {\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {4} \end{array}} \end{array}\right].

Klikom na Matrix Multiplication u padajućem izborniku na mrežnoj stranici možete izračunati umnožak matrica (slika 12).
Slika 12. Izgled Matrix Multiplication kalkulatora




 

Izvor: autori

Otvaranjem Matrix Multiplication Calculator prvo morate odabrati tip matrica (Matrix dimension) koje se množe. Kalkulator izračunava umnožak matrica do tipa 100\times 100. Ukoliko korisnik unese tip matrice koji se ne može množiti, odnosno prva matrica nema onoliko stupaca koliko druga ima redaka, sama aplikacija će automatski promijeniti broj redaka druge matrice ili broj stupaca prve matrice ovisno o tome koju ste dimenziju prvu unijeli. Klikom na Set matrix pojavljuje se novi prozor u kojem se upisuju elementi matrice.

Slika 13. Upis elemenata matrica A i B


 

Izvor: autori

Elementi matrice A unose se u prvi prozor, a elementi druge matrice u prozor do njega (slika 13). Novi prozor za upis elemenata matrice ima sve opcije (Restore matrix, Complex numbers, Reset, Fill empty cells with zero, Calculate) koje su opisane kod prethodna dva opisana primjera. Klikom na Calculate izračunat će se umnožak matrica.

Slika 14. Prikaz umnoška matrica A i B




 

Izvor: autori

Prikaz rješenja je u matričnom obliku (slika 14). U donjem desnom uglu prikazat će se vrijeme potrebno za izračunavanje umnoška, a klikom na Show solution prikazat će se korak po korak koji je računat kako bi se došlo do rješenja (slika 15).

Slika 15. Detaljan prikaz rješenja


 

Izvor: autori

Prikaz detaljnog rješenja se temelji na prikazu matrice u kojem je naznačen element koji se računa, a iznad matrice je zbroj umnožaka koji daje taj element. Element c_{11} nalazi se u prvom retku i prvom stupcu matrice umnoška zadanih matrica. Njegovu vrijednost dobije se zbrajanjem umnožaka prvog retka matrice A i prvog stupca matrice B

Matrični kalkulator Reshish Matrix besplatan je alat dostupan na računalima i mobilnim uređajima bez dodatnih instalacija. Jedan od nedostataka ovog alata je što se može koristiti samo uz dostupnost internetske veze. Najveća prednost ovog alata je što omogućava 10 različitih operacija s matricama uz detaljan opis svakog koraka računanja rješenja i to matričnog zapisa i opisa riječima.

Tablica 2. Prednosti i nedostaci Reshish Matix alata


 

Izvor: autori

Izračun determinante matrice u svakoj ponuđenoj operaciji, u kojoj ju je potrebno računati, računa se pomoću svođenja matrice na trokutastu matricu i računanje pomoću elemenata na glavnoj dijagonali. Nijedna operacija ne pruža mogućnost izračuna determinanti pomoću Laplaceovog razvoja. Laplaceov razvoj je kombinatorni algoritam koji ima složenost \mathcal{O}=n! i numerički je nestabilan. Kombinatorni alati kao Laplaceov razvoj koriste se za simboličku algebru, tj. Computer Algebra Systems (CAS)[6]. Jedan od alata koji daje takvu kombinatornu pomoć je Matrix calculator [7]. Matrix Reshish je numerički alat i ne treba očekivati čisto algebarsko kombinatorni algoritam. Upravo zbog ovoga Cramerovo pravilo je mnogo točnije u aritmetici pomičnog zareza nego isti algoritam temeljen na Laplaceovom razvoju. Za složeniji matrični račun u aritmetici pomičnog zareza može se koristiti Octave Online [8].
Isto tako kalkulator omogućava rješavanje osnovnih računskih operacija, ali ne i traženje rješenja složenijih zadataka s više računskih operacija i primjenom pravila o slijedu računskih operacija, npr. ukoliko su zadane matrice

A=\left[\begin{array}{cc} {\begin{array}{c} {1} \\ {0} \\ {1} \end{array}} & {\begin{array}{c} {2} \\ {-2} \\ {0} \end{array}} \end{array}\right] i B=\left[\begin{array}{c} {\begin{array}{ccc} {2} & {0} & {-1} \end{array}} \\ {\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {4} \end{array}} \end{array}\right]

i potrebno je izračunati \left(A\cdot B\right)^{T} +3B-2I u matričnom kalkulatoru posebno se računa umnožak matrica, zatim transponirana matrica umnoška i potom zbroj matrica \left(A\cdot B\right)^{T} +3B, a zatim se dobivenom rezultatu može oduzeti 2I. Množenje matrice skalarom isto tako nije dostupno.

Reshish Matrix kalkulator je numerički alat koji omogućava izračunavanje osnovnih matričnih operacija i metoda koje se koriste za rješavanje sustava linearnih jednadžbi. Algoritam po kom' radi temelji se na Binet-Caushyevom teoremu i LU rastavu zbog čega je stabilan, a Cramerovo prvilo temeljeno na ovakvom računanju determinante je mnogo točnije u aritmetici pomičnog zareza. Prednosti ovog alata je dostupnost na mobilnim uređajima, te se lako može koristiti u nastavi kao jedan od načina oplemenjivanja nastave. Svaki korak koji je detaljno opisan prilikom rješavanja postavljenog problema uvelike može pomoći studentu prilikom vježbanja i pripremanja ispita.

Za podučavanje matematike potrebna je kreativnost, maštovitost, odlučnost, upornost, dosljednost i marljivost. Istim riječima možemo opisati i vizualne dokaze koji su posebno dragi učenicima, studentima, nastavnicima i svima onima koji vole matematiku. Koristeći stara znanja dolazimo do novih ideja i u ovom članku prikazat ćemo neke od vizualnih kratkih i elegantnijih dokaza.
Ovaj članak, kao i prethodni, posvećujemo našim dragim prijateljima, učiteljma, profesorima Borisu Pavkoviću ($1931.-2006.$) i akademiku Sibi Mardešiću ($1927.-2016.$).

Eulerova nejednakost koja datira iz $1765.$ godine glasi: opisana kružnica trokuta je barem dvostruko duža od upisane kružnice, odnosno

Slika 1: Upisana i opisana kružnica trokutu $ABC$

Površina trokuta

pri čemu je $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$.

Primjenom aritmetičko-geometrijske nejednakosti

i dvije slične dobivamo zadnju nejednakost. Jednakost u Eulerovoj nejednakosti postiže se ako i samo ako je trokut jednakostraničan.. Napomenimo usput da A-G nejednakost za tri varijable daje

Stoga za površinu trokuta imamo

To je izoperimetrijska nejednakost za trokut s jednakošću ako i samo ako je trokut jednakostraničan. Koristeći A-G nejednakosti, Eulerova nejednakost ima i hiperboličku verziju (za trokute kojima se može opisati kružnica) koja glasi

i slično za sfernu geometriju (v.[8]). Za $n$-dimenzionalni euklidski simpleks Eulerova nejednakost je

Dokaz je neočekivano jednostavan; provodimo ga u dimenziji $n=3$ (iako doslovce isti dokaz ide u svim dimenzijama). Neka je $\mathrm{\Delta }=\mathrm{\Delta }(v{}_0,v{}_1,v{}_2,v{}_3)$ tetraedar i $R=R\left(\mathrm{\Delta }\right)$ radijus opisane mu kugle. Neka je $c{}_i$ težište (tj. radijvektor centroida) strane tetraedra nasuprot vrha (radijvektora) $v{}_i$. Tada je (kao vektor)

itd. Sada je lako provjeriti da su $\mathrm{\Delta }$ i $\mathrm{\Delta }(c{}_0,c{}_1,c{}_2,c{}_3)$ slični tetraedri s koeficijentom sličnosti $3$, pa je udaljenost

za sve $i$, $j$. Iz ove sličnosti slijedi

Kugla kojoj je radijus manji od upisane kugle ne može sjeći sve strane tetraedra, pa je stoga

Odavde slijedi

Jednakost vrijedi ako i samo ako se radi o pravilnom tetraedru.

Cauchy-Schwarz-Bunjakovski nejednakost za dva vektora $x=(a,b)$ i $y=(c,d)$, gdje su $a$, $b$, $c$, $d$ realni brojevi, glasi:

Oslobađanjem zagrada s lijeve i desne strane dobivamo ekvivalentnu nejednakost

što je upravo A-G nejednakost za dvije varijable. CSB nejednakost također slijedi iz Fermatovog teorema o dva kvadrata a kaže da je produkt sume dva kvadrata opet suma dva kvadrata ili formulom

Opća CSB nejednakost

(to je zapravo posljedica jednakosti $\left|\right|uv\left|\right|{}^2=\left|\right|u\left|\right|{}^2\left|\right|v\left|\right|{}^2$, gdje je $u=a+bi$, $v=c+di$), slijedi iz dviju jednostavnih geometrijskih činjenica: skalarni produkt (nenul) vektora $x$, $y\in ℂ{}^n$

i

S druge pak strane, algebarski dokaz CSB nejednakosti slijedi jednostavno iz Lagrangeovog identiteta

Drugi način da se analitički dokaže CSB nejednakost jest nenegativnost realne kvadratne funkcije

U svakom slučaju vidimo da su A-G i CSB nejednakosti dva jednakomoćna (ekvivalentna) načela. Dvije svjetske klasične knjige o nejednakostima koje odišu elegancijom su [9] i [10] (a i mi ih navodimo u [7] i [8]). CSB vrijedi i općenitije u bilo kojem vektorskom prostoru (nad poljem realnih ili kompleksnih brojeva) sa skalarnim produktom i glasi $\left|\right(u,v\left)\right|\le \left|\right|u\left|\right|\left|\right|v\left|\right|$.

Navest ćemo jednu lijepu primjenu A-G nejednakosti u algebri. Na 2. svjetskom matematičkom kongresu u Parizu 1900. godine D. Hilbert je postavio čuvena 23 problema (od kojih ni danas neki nisu riješeni, npr. RH - Riemannova hipoteza). Među njima bio je 17. problem koji glasi: je li nenegativni realni polinom zbroj kvadrata racionalnih funkcija? Godine 1927. E. Artin potvrdno je odgovorio na Hilbertov 17. problem, ali je sve do 1967. godine ostalo otvoreno pitanje je li realni nenegativni polinom suma kvadrata realnih polinoma? Tada je E. Motzkin uočio polinom

(zbog A-G nejednakosti), a nije suma kvadrata realnih polinoma. Zaista, pretpostavimo suprotno da je

za neke $f{}_i\in ℝ\left[X,Y\right]$, $i=1,2,3,\cdots ,n$. Očito svaki $f{}_i$ ima stupanj $\le 3$, i stoga je svaki $f{}_i$ linearna kombinacija monoma $1$, $X$, $Y$, $X{}^2$, $XY$, $Y{}^2$, $X{}^3$, $X{}^{2}Y$, $XY{}^2$, $Y{}^3$. No, $X{}^3$ se ne može pojaviti ni u kojem $f{}_i$, jer bi se inače $X{}^6$ pojavio u $f$ s pozitivnim koeficijentom. Slično se ne može pojaviti ni $Y{}^3$ pa ni $X{}^2$, ni $Y{}^2$, ni $X$, ni $Y$. Preostaje jedino da je $f{}_i$ oblika

No tada je

što je kontradikcija.

Vratimo se malo matematičkom čarobnjaku L. Euleru ($1707.-1783.$). Iako je od $1760$-ih gotovo oslijepio, zapravo je tada postajao sve produktivniji. Euler je matematičar s više od $1500$ objavljenih radova, što ozbiljnih rasprava, što knjiga. Približio mu se jedino Paul Erd\H os ($1913.-1996.$) s oko $1500$ radova (s preko $500$ koautora), više o njemu saznat ćemo u sljedećoj točki. Iako je teško uspoređivati vrijeme Eulera i Erd\H osa, ipak možemo reći da se radi o dva genijalna matematičara koji su živjeli u razmaku od oko $200$ godina.
Za tzv.$\mathit{problem\; sedam\; mostova\; u\; Königsbergu}$ čuo je Euler $1736$. godine, ali iako ga je odmah riješio, to je postalo opće poznato mnogo kasnije. Problem ”$7$ mostova” glasi: može li se, krenuvši od kuće obići $7$ mostova, proći svaki most točno jednom i vratiti se kući (vidjeti Sliku 2).)

Slika 2: Slika sedam mostova u Königsbergu i pripadni model u teoriji grafova

$\mathit{Stupanj\; vrha}$ u grafu je broj bridova koji ulaze (ili izlaze) u vrh. Zbroj stupnjeva svih vrhova (konačnog) grafa je dvostruki broj svih bridova. Na slici 2 vidimo da su stupnjevi svih vrhova pridruženog grafa neparni, a takva (Eulerova) zatvorena šetnja je moguća ako i samo ako je stupanj svakog vrha paran broj (dokaz vidjeti u [11]). Neformalno: koliko ulaza, toliko izlaza u svaki vrh, ukupno paran broj. Ovo se smatra začetkom teorije grafova, a Eulerova formula za poliedre $v-b+s=2$ (v- broj vrhova, b- broj bridova i s- broj strana konveksnog poliedra) začetkom algebarske topologije.
Kad smo već kod genijalnih matematičara Eulera i Erd\H osa evo i njihova dva manje poznata otvorena problema.
Euler (oko $1770.$ godine): Postoji li savršen Eulerov kvadar, tj. kvadar (cigla) čiji svi bridovi i sve dijagonale imaju cjelobrojne duljine?
Erd\H os (oko $1970.$ godine): Ako niz $a{}_n\in \mathbb{N}$ ima svojstvo da red $\sum \frac{1}{a{}_n}$ divergira, sadrži li po volji dugački aritmetički niz? Ako se radi o nizu prostih brojeva, onda je odgovor potvrdan (Green-Tao, 2010.).

Sve je broj, tumačio je Pitagora svojim sljedbenicima oko $500$ g. pr. Kr. S brojevima su bili očarani mnogi ljudi, a naročito matematičari. $\mathit{The\; Man\; Who\; Loved\; Only\; Numbers}$ naslov je knjige P. Hoffmana o Paulu Erd\H osu. Kao dijete od $5$-$6$ godina mali bi Paul ljudima računao koliko su sekundi upravo doživjeli ($100$ godina je $3$ milijarde, $153$ milijuna i $600$ tisuća sekundi) ili koliko bi vlakom trajalo (brzinom od $100$ km/h) putovanje od Zemlje do Sunca i sl. Erd\H os i drugi matematički genijalci, primjerice Gauss, Euler, Poincaré i Ramanujan su strjelovito brzo računali. No, isto tako mnogi su umjetnici bili opčinjeni brojevima i njihovim čarolijama. Tako su slikari Albrecht Dürer ($1471.-1528.$) i njegov suvremenik Leonardo da Vinci ($1452.-1519.$) bili očarani čarobnim četvorinama (iliti magičnim kvadratima). U tim je tablicama zbroj brojeva u svakom retku, stupcu i dijagonali isti (više o njima u članku [12] i knjizi [14]).

Slika 3:

  

Slika 3:

 

 

 

Slika 3:

  

Slika 3:

Slika 3: Dürerovi magični kvadrati

Slika 8: Magični kvadrat zrcaljenje znamenki

 

Slika 9: Magični kvadrat s prostim brojevima

  

Slika 9: Indijska čarobna četvorina reda 8

Slika 9: Magični kvadrati

Slika 12: Starolatinski slovčani magični kvadrat

Na slici $<nobr><span\; class="textup"><a\; class="ref"\; href="\#7">12</a></span></nobr>$ je starolatinski slovčani ”magični kvadrat” koji se jednako čita slijeva, zdesna, odozgo, odozdo, a znači: orač Arepo (ime) s mukom njive ore. Pokušajte zamjenom slova dobiti i po koju hrvatsku čarobinu s nekim značenjem.


Obično se pod $\mathit{magičnim\; kvadratom}$ reda $n\ge 3$ smatra tablica $n\times n$ svih brojeva $1,2,3,\cdots ,n{}^2$ s istim zbrojem svakog retka, stupca i obiju dijagonala; taj je zbroj

Postoji samo jedan magični kvadrat reda $3$, svi ostali su dobiveni zrcaljenjem i rotacijom jedan iz drugog. Magičnih kvadrata reda $4$ ima točno $880$, a reda $5$ ima $275305224$, a reda $6$ približno $1.7745\cdot 10{}^{19}$. Dalje se ne zna, ali se zna da postoje magični kvadrati svakog reda $n\ge 3$ pa tako, primjerice, reda $n=\mathrm{googol}=10{}^{100}$ pa i reda $n=\mathrm{googolplex}=10{}^{googol}$, itd. ali i $n=\mathrm{googol}\#\mathrm{googol}\#\cdots \#\mathrm{googol}$, gdje je $a \# b=a{}^b$. Možete li zamisliti tako veliki ali ipak ”samo” konačan broj pri čemu ima barem googol simbola $\#$ (od googol potječe i riječ ”google”)? Postoje i magični pravokutnici, čarobne (magične) kocke pa i magične $4$D-kocke zvane ”tesseract”, itd. U rekreativnoj (ili zabavnoj) matematici razmatraju se i magični trokuti, a umjesto zbroja razmatra se umnožak, itd. Magični kvadrati su u srednjem vijeku nošeni u procesijama kako bi svojom magijom otjerali đavla. Evo na kraju i čarobne šesterokrake zvijezde (vidjeti sliku $<nobr><span\; class="textup"><a\; class="ref"\; href="\#8">3</a></span></nobr>$). U svakom njenom vrhu postavljen je neki broj od $1$ do $12$ tako da su zbrojevi duž svih stranica jednaki $26$. Ima i raznih drugih ”magičnih likova”. Poopćenje $6$-zvijezde je $n$-zvijezda i na svakoj crti broj između $1$ i $2n$ s magičnim zbrojem $4n+2$.

Slika 13: Šesterokraka zvijezda

  

Slika 13: Davidova zvijezda

Slika 13: Zvijezde

Mogu li se trokuti u prostoru (Davidova zvijezda) kao na slici $<nobr><span\; class="textup"><a\; class="ref"\; href="\#9">3</a></span></nobr>$ razdvojiti (podebljani su nadvožnjaci) ? Pokušajte si dočarati i nacrtati tri međusobno ukliještena trokuta (ili kružnice). To su tzv. $\mathit{Borromeo\; prstenovi}$ i to je i povijesno i matematičko-topološki zanimljiva priča. O tome i drugim matematičko-povijesnim zanimljivostima možete pročitati u [14]. Niz je otvorenih problema u kombinatorici s magičnim likovima.

Pođimo od jednakostraničnog trokuta i podijelimo mu svaku stranicu na tri jednaka dijela. Ponavljaj: izbaci srednju trećinu i zamijeni je prema van s ostale dvije stranice trokuta (vidjeti sliku 16). Ono što na limesu preostane se naziva $\mathit{Kochova\; pahuljica}$. To je primjer svuda neprekidne, a nigdje diferencijabilne krivulje. Njezin je opseg beskonačan, a površine $8/5$ prvotnog trokuta. To je jedan od najjednostavnijih primjera fraktalnog skupa ili kraće $\mathit{fraktala}$.

Slika 16: Kochova pahuljica

Slični primjer fraktala je $\mathit{rupičasti\; trokut\; Sierpińskog}$, koji se dobiva ovako. Ponavljaj: izbaci središnji trokut s time da se pođe od jednakostraničnog trokuta. Na limesu preostaje rupičasti trokut Sierpińskog.

Slika 17: Rupičasti trokut Sierpińskog

Slično se dobiva i rupičasti tepih Sierpińskog tako da se iz kvadrata $3\times 3$ izbaci središnji i one koji s njim dijele crtu i nastavi se tako (dakle, izbacujemo središnji križ od $5$ kvadratića). Analogon u 3D je $\mathit{Mengerova\; spužva}$, a dobije da se iz kocke $3\times 3\times 3$ izbacuje središnja i s njom dodirnih $6$ kocaka i nastavlja tako u beskonačnost.

Slika 18: Rupičasti tepih Sierpińskog

Fraktalni objekti (tj. samoslični objekti) objekti igraju važnu ulogu u suvremenoj teoriji kompleksnih funkcija, topologiji, dinamičkim sustavima, teorijskoj fizici i drugdje.

$\mathit{Morleyevo\; čudo}$ ili $\mathit{Morleyev\; teorem\; o\; trisekciji\; kutova}$ datira iz $1899$. godine i kaže sljedeće. Susjedni parovi trisektrisa kutova trokuta čine vrhove jednakostraničnog trokuta. Trisektrisa (ili trodjelnica) dijeli kut na tri jednaka dijela. Prisjetimo se da se bisektrise ili simetrale (polovice) kutova trokuta sijeku u središtu upisane kružnice. Vrlo jednostavni dokaz te činjenice rabi samo sukladnost trokuta.
$\underset{¯}{\mathrm{Dokaz\; 1.\; Morleyevog\; teorema}}$.

Slika 19: Jednakostraničan trokut $△PQR$

Neka se trisektrise kutova trokuta $△ABC$ sijeku u točkama $P$, $Q$ i $R$ kao na slici $<nobr><span\; class="textup"><a\; class="ref"\; href="\#11">17</a></span></nobr>$ i neka je $△PQR$ Morleyev trokut polaznog trokuta $△ABC$. Tvrdimo da je $△PQR$ jednokostraničan. U dokazu ćemo rabiti samo sinusov poučak i formulu za trostruki kut (koji se lako dokaže iz adicijske formule):

gdje je $x\text{'}=x+\frac{\pi }{3}$, $x\text{'}\text{'}=(x\text{'})\text{'}=x+\frac{2\pi }{3}$.
Neka su kutovi trokuta $A=3\alpha$, $B=3\beta$, $C=3\gamma$ ; stoga

Neka je $R$ radijus opisane kružnice $△ABC$ (razlikujte taj $R$ i vrh $R$$△PQR$). Tada je $\frac{a}{\sin A}=2R$, itd. Iz sinusovog poučka za $△ABR$ i $△CPQ$ i ”trostruke formule” dobivamo

Slijedi

Promotrimo trokut s jednom stranicom $CQ$ i kutovima $\alpha \text{'}$, $\beta \text{'}$ i $\gamma$. Iz sinusovog poučka slijedi da je taj trokut sukladan s $△CPQ$. Stoga je

Zbog simetričnosti ovog izraza slijedi

pa je $△PQR$ jednakostraničan.
$\underset{¯}{\mathrm{Dokaz\; 2\; (\text{'}\text{'}lov\; na\; kutove\text{'}\text{'})}}$.
Taj je dokaz sličan Dokazu 1; rabi sinusov poučak i trostruku formulu i pokazuje da su kutovi trokuta $PQR$ svi jednaki $\frac{\pi }{3}$ . Prepuštamo ga čitatelju.
$\underset{¯}{\mathrm{Dokaz\; 3\; (planimetrijski).}}$.
Zamislimo prvo da je trokut $△PQR$ jednakostraničan i produžimo $AQ$ i $BP$ do $W$, $BR$ i $CQ$ do $U$, te $AR$ i $CP$ do $V$. Tada je lako provijeriti da su $△URQ$, $△VRP$ i $△WPQ$ jednakokračni i da su im kutovi uz baze jednaki $\frac{A}{3}-\frac{\pi }{3}$ itd.
Dakle, da bismo dokazali Morleyjev (ili Morleyev) poučak, pođemo od jednakostraničnog $△PQR$, konstruiramo prema van točke $U$, $V$, $W$ s odgovarajućim kutovima uz baze $PQ$, $QR$ i $RP$ i neka je $A$ sjecište od $VR$ i $WQ$ itd. Tada nije teško provjeriti da je $△ABC$ sličan polaznom trokutu, tj. da ima kutove $A$, $B$ i $C$.
Zanimljivo je da se za analogni problem za trodjelnice stranica trokuta umjesto kutova ne zna podrobniji opis figure dobivene analogno Morleyjevim teoremu. $△ABC$ je afina slika pravilnog, pa kako afinitet čuva paralelnost, slijedi da je $PQ$ paralelno s $AB$ itd., pa je $△PQR$ sličan s $△ABC$, a šesterokut $PWQURV$ afino regularan. Ali možemo li reći i nešto više od od toga? Primjerice, koji je koeficijent sličnosti i ima li taj šesterokut neka dodatna svojstva?
Također je otvoreno pitanje ima li nekih simetrija (skladnosti) Morleyev tetraedar dobiven trisekcijama diedralnih kutova danog tetraedra (v.[28]).

Koliko su vizualni i kratki dokazi važni potvrdio je i hrvatski znanstvenik i izumitelj Nikola Tesla ($1856.$-$1943.$) riječima: "Mogu zahvaliti vizualizaciji za sve što sam stvorio. Događaji iz mog života i moja otkrića pred mojim očima su stvarni, vidljivi kao i svaka pojava i predmet. U mladosti sam se toga plašio neznajući što je to zapravo, ali kasnije sam tu moć primio kao dar i bogatstvo. Njegovao sam ga i ljubomorno čuvao. Vizualizacijom sam na većini izuma vršio i ispravke, a onda ih, tako završene, pravio. Njome rješavam i komplicirane matematičke jednadžbe, a da ne ispisujem brojeve."